Sia \(f(x)\) una funzione definita da un certo dominio \(A\) in \(\mathbb{R}\), cioè

$$f\colon A\to\mathbb{R}$$


Calcolare il limite della funzione vuol dire valutare che cosa accade alla funzione \(f(x)\) quando la variabile \(x\) si avvicina ad un certo punto \(x_0\) del suo dominio \(A\), in questo caso il punto \(x_0\) viene detto punto di accumulazione del dominio.
Dire che si tratta di un punto di accumulazione vuol dire che ci possiamo avvicinare a questo \(x_0\) quanto vogliamo senza uscire dal dominio \(A\).
L’operazione di limite consiste nell’avvicinarsi sempre di più a \(x_0\), sia da destra che da sinistra, cercando di capire che valori assume la funzione \(f(x)\) vicino a \(x_0\), quindi in parole povere stiamo cercando di studiare il grafico della funzione vicino a \(x_0\): questo viene detto grafico locale della funzione.
Ora ci sono diversi casi:

  • se il punto \(x_0\) sta nel dominio e la funzione \(f\) è continua nel punto (cioè, se il grafico della funzione non ha “buchi”), allora \(f(x)\) tenderà proprio al valore \(f(x_0)\) (si calcola la funzione nel punto \(x_0\));
  • Tuttavia non è sempre possibile fare questa sostituzione: cosa succede se calcoliamo il limite in un punto \(x_0\) che non sta nel dominio oppure in un punto \(x_0\) che presenta delle “anomalie”? Facciamo un esempio per questo caso per chiarire il concetto.

Il concetto intuitivo di limite

Consideriamo la funzione:

$$f(x)=\frac{1}{x^2},\>con\>x\>in\>\mathbb{R}-{0}$$


Possiamo notare che se valutiamo la funzione da destra vicino \(0\), per esempio in valori razionali:

$$f\biggl(\frac{1}{2}\biggl)=\biggl(\frac{1}{\frac{1}{2}}\biggl)^{2}=4 < f\biggl(\frac{1}{3}\biggl)=\biggl(\frac{1}{\frac{1}{3}}\biggl)^{2}=9$$


avvicindandoci sempre di più a \(0\)

$$4<9<…<100000^2= f\biggl(\frac{1}{100000}\biggl)$$


la funzione tenderà a crescere sempre di più, e il suo grafico tenderà ad assumere valori vicino ad \(+\infty\).
Valutando da sinistra invece

$$f\biggl(-\frac{1}{2}\biggl)=\biggl(\frac{1}{-\frac{1}{2}}\biggl)^2=4< f\biggl(-\frac{1}{3}\biggl)=\biggl(\frac{1}{-\frac{1}{3}}\biggl)^2=9$$


e così via…. di nuovo la funzione tenderà a crescere sempre di più, e il suo grafico tenderà ad assumere valori vicino ad \(+\infty\).
Quindi il limite di questa funzione in \(0\) sarà \(+\infty\).
Attenzione: noi ci siamo avvicinati a \(0\) con numeri razionali per semplificare il concetto, ma quando parliamo di limite nel dominio dobbiamo considerare anche i numeri reali!!!

Definizione di limite

Sia \(f\colon A\to\mathbb{R}\), con \( A\) incluso in \(\mathbb{R}\), e \(x_0\) un punto di accumulazione di \(A\). Un numero reale \(l\) si dice il limite di \(f(x)\) per \(x\to x_0\)

$$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l$$


se per qualunque valore \(\epsilon > 0\) esiste un valore \(\delta > 0\), dipendente da \(\epsilon \), tale che, per qualunque sia \(x\) in \(A\) con distanza tra \(x\) e \(x_0\) minore di \(\delta\), allora la distanza tra \(f(x)\) e \( l\) è minore di \(\epsilon \).
Scritto brevemente:
\(per\>ogni\> \epsilon >0\>esiste\> \delta >0\>tale\>che\>per\>ogni\>x\>in\>A\>con\>|x-x_0|<\delta\>allora\>risulta\>|f(x)-l|<\epsilon\)

Questa è la definizione classica di limite di una funzione!
Attenzione!!
Ci sono diverse altre definizioni che ruotano intorno a questa, infatti quella che abbiamo studiato in questa lezione è la definizione di limite finito per \(x\) che tende ad un valore finito.

Inoltre ci sono anche dei teoremi che ci garantiscono l’unicità e l’esistenza del limite.