Scopriamo oggi un nuovo argomento dell’argomento principale: piano cartesiano. Dopo che abbiamo visto in che trovare il punto medio di un segmento e come si trovano le coordinate di un punto passiamo ad un argomento leggermente più complesso: la distanza tra due punti.
Partiamo dai casi più semplici per arrivare al caso generale. Come considerazione iniziale osserviamo che la distanza fra due punti P eQ non è altro che la lunghezza del segmento PQ.
Possiamo quindi già vedere come tutto sia più semplice di quanto si possa pensare e con gli esempi pratici di seguito si comprenderà al meglio l’argomento.
Distanza tra due punti con stessa ordinata o stessa ascissa
Di seguito vedremo in che modo trovare la distanza tra due punti con la stessa ordinata, la stessa ascissa e infine arriveremo al caso generale. Passo passo scopriremo in che modo effettuare i passaggi e soprattutto vedremo alcuni esempi esplicativi che vi aiuteranno nella scoperta di questo argomento.
Distanza tra due punti con la stessa ordinata
Se abbiamo due punti che si trovano alla stessa altezza, cioè hanno stessa ordinata, è semplice trovare la loro distanza:
Supponiamo di avere due punti
$$ P = (x_P, y_P) \quad \qquad Q = (x_Q, y_Q) $$
Con
$$y_P = y_Q $$
La distanza tra P e Q si indica d(P,Q) e si ha che:
$$ d(P,Q) = | x_P – x_Q | $$
Dove con $ | \cdot | $ si intende il valore assoluto del suo argomento: l’argomento preso di segno positivo.
In effetti una distanza non può mai essere negativa.
Distanza tra due punti con stessa ascissa
Analogamente, se abbiamo due punti che hanno stessa ascissa, è semplice trovare la loro distanza:
Supponiamo di avere due punti
$$ P = (x_P, y_P) \quad \qquad Q = (x_Q, y_Q) $$
Con
$$x_P = x_Q $$
La distanza tra P e Q si indica d(P,Q) e si ha che:
$$ d(P,Q) = | y_P – y_Q | $$
Distanza tra due punti: il caso generale
In generale, presi due punti, questi non hanno ne la stessa ascissa, ne la stessa ordinata.
Ci riconduciamo al caso precedente con un piccolo trucchetto.
Consideriamo due punti generici:
$$ P = (x_P, y_P) \quad \qquad Q = (x_Q, y_Q) $$
Consideriamo il punto A che ha la stessa ordinata del punto P e la stessa ascissa del punto Q.
$$ A = (x_A,y_A) =(x_Q, y_P) $$
Se disegniamo questi punti su un piano cartesiano noteremo che una volta uniti tra loro, questi formano un triangolo rettangolo in cui il segmento PQ non è altro che l’ipotenusa.
Ricordando che lunghezza del segmento e distanza fra i due estremi del segmento stesso sono in sostanza la stessa cosa, il teorema di Pitagora ci dice che
$$ d(P,Q) = \sqrt{ d(P,A) ^2 + d(A,Q)^2} $$
ma a questo punto abbiamo finito perchè sappiamo come calcolare d(P,A) e d(A,Q) !
Infatti dato che P e A hanno la stessa ordinata; la loro distanza non sarà altro che la differenza delle ascisse
$$ d(P,A) = | x_P – x_A| = |x_P – x_Q| $$
Allo stesso modo dato che Q e A hanno la stessa ascissa; la loro distanza non sarà altro che la differenza delle ordinate
$$ d(A,Q) = | y_A – y_Q| = |y_P – y_Q| $$
Per concludere abbiamo che la distanza tra i due punti P e Q si può calcolare utilizzando la seguente formula:
$$ d(P,Q) = \sqrt{ d(P,A) ^2 + d(A,Q)^2} = \sqrt{ |x_P – x_Q| ^2 +|y_P – y_Q|^2}$$
Come ultima cosa, possiamo osservare che non è necessario prendere il valore assoluto nella formula precedente dato che le due quantità col modulo vengono elevate al quadrato e quindi avranno in ogni caso segno positivo.
Per riassumere, dati due punti
$$ P = (x_P, y_P) \quad \qquad Q = (x_Q, y_Q) $$
la loro distanza si può calcolare utilizzando la formula:
$$ d(P,Q) = \sqrt{ (x_P – x_Q) ^2 +(y_P – y_Q)^2}$$
Notiamo che questa formula può essere usata anche nel caso in cui i due punti abbiano stessa ascissa o stessa ordinata. Ci restituirà comunque il risultato corretto.
Esempio
Dati i due punti
$$ P = (4, 2) \quad \qquad Q = (1, -2) $$
Si ha
$$ d(P,Q) = \sqrt{ (4 – 1) ^2 +(2 – (-2) )^2} = 5 $$
Esempio
Prendiamo due punti con la stessa ordinata
$$ P = (4, 2) \quad \qquad Q = (1, 2) $$
Utilizzando la formula più semplice abbiamo:
$$ d(P,Q) = | x_p – x_q | = 3.$$
Se usiamo invece la formula generale abbiamo che
$$ d(P,Q) = \sqrt{ (4 – 1) ^2 +(2 – (2) )^2} = \sqrt{9} = 3 $$
Lo stesso risultato!