Della famiglia delle equazioni differenziali fanno parte le equazioni differenziali del secondo ordine, che sono, in generale, della forma
$$F(x, y(x), y’(x), y’’(x))=0$$
dove \(x\) è una variabile indipendente messa in relazione con la funzione \(y\) e le sue derivate e \(F\) è la funzione che ci da la forma della nostra equazione. Tra le equazioni differenziali del secondo ordine ci stanno le le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, cioè quelle per cui la funzione \(F\) ci da l’equazione
$$y’’(x)+ ay’(x)+ by(x)=f (x)$$
dove le lettere \(a\) e \(b\) sono coefficienti reali fissati (da qui la dicitura “a coeeficienti costanti”) e \( f(x)\) è una funzione continua in un opportuno intervallo di definizione. Questo tipo di equazioni sono tra le più frequenti nei compiti scritti perché in casi specifici si può trovare agevolmente una soluzione.
Per discutere la soluzione di un’equazione differenziale di questo tipo bisogna discutere prima il caso dell’equazione omogenea e poi trovare una soluzione particolare per il caso dell’equazione non omogenea. Perciò la soluzione dell’equazione sarà della forma
$$y(x)= y_O(x)+ y_P(x)$$
dove \( y_O(x)\) è la soluzione associata all’equazione omogenea e \( y_P(x)\) è la soluzione particolare della non omogena. Notiamo che la forma della soluzione dell’equazione completa o non omogenea viene da un fatto teorico sulle soluzioni delle equazioni differenziali, infatti la somma della soluzione dell’omogenea con la soluzione particolare è una soluzione dell’equazione completa.
Soluzione di un equazione differenziale omogenea al secondo ordine a coefficienti costanti
L’equazione omogenea è della forma
$$y’’(x)+ ay’’(x)+ by(x)=0$$
rispettando le stesse notazioni introdotte precedentemente. Per risolverla bisogna introdurre il polinomio caratteristico dell’equazione, che sarebbe il polinomio di incognita \(z\) associato alla funzione \( y(x)\) a seconda del grado della sua derivata:
$$P(z)=z^2+az+b$$
Brevemente si sostituisce \(z\) a \( y(x)\), elevandolo a un esponente pari all’ordine della derivata di \( y(x)\). Le soluzioni di questo polinomio danno la forma della soluzione dell’equazione differenziale…
- Se \(P(z)\) ha due soluzioni reali e distinte \(z_1\) e \(z_2\), la soluzione sarà del tipo
$$ y(x)=c_1e^{z_1 x} +c_2e^{z_2 x} $$
- Se \(P(z)\) ha due soluzioni reali e coincidenti \(z_1\), la soluzione sarà del tipo
$$ y(x) =c_1e^{z_1 x} +c_2xe^{z_1 x}$$
- Se \(P(z)\) ha due soluzioni complesse e coniugate \(\alpha +i\beta\) e \(\alpha -i\beta\), la soluzione sarà del tipo
$$ y(x) =c_1e^{\alpha x}cos(\beta x) +c_2e^{\alpha x}sin(\beta x)$$
dove \(c_1\) e \(c_2\) sono delle variabili reali. Se avessimo impostato delle condizioni iniziali sulla nostra equazione, \(c_1\) e \(c_2\) sarebbero unici e quindi avremmo avuto un’unica soluzione dell’equazione differenziale.
Per quanto riguarda la soluzione particolare, dipende dalla forma della funzione continua \( f(x)\). Questo studio in alcuni casi diventa molto complicato e perciò concentriamoci, per adesso, sul caso in cui la funzione \( f(x)\) sia un polinomio a titolo di esempio.
Esempio
Risolvere l’equazione differenziale del secondo ordine
$$y’’(x)-y(x)=x^2+2x-1$$
Svolgimento:
Per quanto riguarda la soluzione dell’omogenea, il polinomio caratteristico è della forma
$$P(z)=z^2-1$$
Ha quindi due soluzioni reali e distinte uguali a \(\pm 1\). Perciò la soluzione dell’omogenea è uguale a
$$ y_O(x)=c_1e^{x} +c_2e^{-x} $$
La soluzione particolare, dato che \( f(x)\) è un polinomio, è della forma
$$y_P(x)=Ax^2+Bx+C$$
Ora bisogna trovare i termini \(A\),\(B\) e \(C\). Per farlo sostituiamo la soluzione nell’equazione e perciò facciamo prima le derivate
$$y_P’(x)=2Ax+B$$
$$y_P’’(x)=2A$$
che sostituendole all’equazione mi danno
$$2A - Ax^2-Bx-C = x^2+2x-1$$
$$-Ax^2-Bx+(2A-C) = x^2+2x-1$$
Il valore dei coefficienti è dato dal sistema lineare di tre equazioni in tre incognite
$$\begin{cases} -A=1\\ -B=2\\ 2A-C=-1 \end{cases}$$
da qui \(A=-1\),\(B=-2\) e \(C=-1\). Quindi la soluzione particolare è uguale a
$$y_P(x)=-x^2-2x-1$$
e la soluzione completa
$$y(x)= c_1e^{x} +c_2e^{-x} -x^2-2x-1$$