Esercizi con le proporzioni: esempi svolti

Negli articoli precedenti abbiamo visto che cosa sono le proporzioni, facendo anche degli esempi, e quali sono le loro proprietà principali. Per avere più dimestichezza con quest’argomento, svolgiamo insieme alcuni esercizi basilari evidenziandone le proprietà utilizzate…

Esercizio 1

Dire quali di queste è effettivamente una proporzione:

• \(15:10=6:4\);
• \(12:3=3:4\);
• \(13:3=16:2\);

Svolgimento:
Dobbiamo verificare che queste tre espressioni formano effettivamente delle proporzioni, come facciamo? Ci ricordiamo le proprietà delle proporzioni, in particolare la proprietà fondamentale che ci dice che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi basta verificare ciò per ogni espressione scritta qui sopra.

• \(15:10=6:4\)
  Abbiamo che il prodotto dei medi è uguale a
  

  $$10\cdot 6=60$$

  
  e che il prodotto degli estremi è uguale a
  

  $$15\cdot 4=60$$

  
  Quindi il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi e la proprietà è verificata: l’espressione è effettivamente una proporzione!
• \(12:3=3:4\)
  Il prodotto dei medi è uguale a
  

  $$3\cdot 3=9$$

  
  Il prodotto degli estremi è uguale a
  

  $$12\cdot 4=48$$

  
  Qui il prodotto dei medi NON è uguale al prodotto degli estremi. L’espressione NON è una proporzione.
• \(13:3=16:2\)
  Il prodotto dei medi è uguale a
  

  $$3\cdot 16=48$$

  
  Il prodotto degli estremi è uguale a
  

  $$13\cdot 2=26$$

  
  L’espressione NON è una proporzione.

Esercizio 2

Trova il numero \(x\) tale che le seguenti terne di numeri diventano effettivamente delle proporzioni nell’ordine dati:

• \(12,x,3,4\);
• \(13,3,x,4\);
• \(20,12,40,x\);

Svolgimento:
Qui usiamo sempre la proprietà fondamentale per svolgere i vari esercizi.

• \(12,x,3,4\)
  Scritto in proporzione avremo
  

  $$12:x=3:4$$

  
  Usando, sempre, che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi avremo un equazione di primo grado a un’incognita
  

  $$x \cdot 3=12\cdot 4$$

  
  Risolvendo
  

  $$x=\frac{12\cdot 4}{3}=16$$

  
  Questa \(x\) è l’unica \(x\) che mi rende la terna di numeri ordinata una proporzione per l’unicità della soluzione delle equazioni lineari ad un incognita, in particolare, per le proporzioni, questa unicità mi da l’unicità del quarto proporzionale.
• \(13,3,x,4\)
  Come prima riscriviamola come proporzione
  

  $$13:3=x:4$$

  
  Dalla proprietà fondamentale avremo:
  

  $$x=\frac{13\cdot 4}{3}=\frac{52}{3}$$

• \(20,12,40,x\)
  La proporzione è
  

  $$20:12=40:x$$

  
  E la \(x\) è uguale a
  

  $$x=\frac{12\cdot 40}{20}=24$$

Esercizio 3

Trovare le incognite \(x\) e \(y\) per le seguenti proporzioni:

• \(4:5=x:y\) sapendo che \(x+y=9\) ;
• \(11:7=x:y\) sapendo che \(x+y=20\) ;

Svolgimento:
Qui si usa la proprietà del comporre, che ci dice che la somma del primo e del secondo membro sta al primo come la somma del terzo e del quarto membro sta al terzo oppure, equivalentemente, la somma del primo e del secondo membro sta al secondo come la somma del terzo e del quarto membro sta al quarto.

• \(4:5=x:y\) sapendo che \(x+y=9\)
  Traducendo in formule la proprietà del comporre avremo che
  

  $$(4+5):4=(x+y):x$$

  
  Ma sappiamo che \(x+y=9\) e, quindi, la proporzione si trasforma in
  

  $$9:4=9:x$$

  
  Non ci resta che trovare la \(x\)
  

  $$x=\frac{4\cdot 9}{9}=4$$

  
  Di conseguanza la \(y\) è uguale a
  

  $$y=9-4=5$$

• \(11:7=x:y\) sapendo che \(x+y=20\)
  Avremo che
  

  $$(11+7):7=(x+y):y$$

  
  Poiché \(x+y=20\)
  

  $$18:7=20:y$$

  
  E da qui possiamo ricavare \(x\) e \(y\)
  

  $$y=\frac{7\cdot 20}{18}=\frac{140}{18}=\frac{70}{9}$$

  
  

  $$x=20-\frac{70}{9}=\frac{110}{9}$$

Esercizio 4

Trovare le incognite \(x\) e \(y\) per le seguenti proporzioni:

• \(4:5=x:y\) sapendo che \(x-y=9\) ;
• \(11:7=x:y\) sapendo che \(x-y=20\) ;

Svolgimento:
Qui si usa la proprietà dello scomporre, che ci dice che la differenza tra il primo e il secondo membro sta al primo come la differenza tra il terzo e il quarto membro sta al terzo oppure, equivalentemente, la differenza tra il primo e il secondo membro sta al secondo come la differenza tra il terzo e il quarto membro sta al quarto.

• \(4:5=x:y\) sapendo che \(x-y=9\)
  Applicando direttamente la proprietà, la proporzione diventa
  

  $$(4-5):4=(x-y):x $$

  
  Ora abbiamo che \(x-y=9\)
  

  $$-1:4=9:x$$

  
  Possiamo trovare \(x\) come negli esercizi precedenti
  

  $$x=\frac{4\cdot 9}{-1}=-36$$

  
  Di conseguanza la \(y\) si ricava da
  

  $$-36-y=9$$

  
  

  $$y=-45$$

• \(11:7=x:y\) sapendo che \(x-y=20\)
  Come fatto qui sopra
  

  $$(11-7):7=(x-y):y $$

  
  Poiché \(x-y=20\) diventa
  

  $$4:7=20:y$$

  
  E da qui possiamo ricavare \(x\) e \(y\)
  

  $$y=\frac{7\cdot 20}{4}=35$$

  
  

  $$x-35=20 \Rightarrow x=20+35=55$$