Il teorema fondamentale del calcolo integrale è un teorema molto articolato, che di solito viene diviso in due parti:
una prima parte, detta primo teorema fondamentale del calcolo integrale, che ci garantisce l’esistenza della primitiva per le funzioni continue e una seconda parte, detta secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, che ci consente il calcolo effettivo dell’integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.
Prima di enunciare e dimostrare questo teorema di vitale importanza, enunciamo e dimostriamo il teorema della media integrale poiché ci servirà nella dimostrazione di quest’ultimo.

Teorema della media integrale

Sia \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\) una funzione continua (le funzioni continue sono integrabili!) allora esiste un punto \(\xi\) in \([a,b]\) tale che

$$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)\, dt= f(\xi)$$


Dimostrazione
Poiché \(f\) è continua nell’intervallo chiuso e limitato \([a,b]\), per il teorema di Weierstrass essa assume massimo \(M\) e minimo \(m\) nell’intervallo. Quindi scritto in formule:

$$ m \le f(x) \le M $$


per ogni \(x\) nell’intervallo \([a,b]\).
Ora vale il seguente teorema:

  • Teorema (monotonia dell’integrale)
    Se \(f\) e \(g\) sono due funzioni integrabili nell’intervallo \([a,b]\) e se vale \(f(x) \le g(x) \) per ogni \(x\) in \([a,b]\) allora

    $$\int_{a}^{b} f(x)\, dx \le \int_{a}^{b} g(x)\, dx$$

Quindi, poichè le disuguaglianze introdotte su \(f(x)\) valgono per ogni \(x\) in \([a,b]\), vale

$$\int_{a}^{b} m\, dx \le \int_{a}^{b} f(x)\, dx \le \int_{a}^{b} M\, dx $$


\(m\) e \(M\) sono delle costanti e i rispettivi integrali fanno \([mx]|_{a}^{b}= m(b-a) \) e \([Mx]|_{a}^{b}= M(b-a) \)…

$$ m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x)\, dx \le M(b-a) $$


dividendo per \((b-a)\) (che è diverso da \(0\) ) abbiamo:

$$ m \le \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx \le M $$


Ora \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx \) è compreso tra i valori \(m\) e \(M\) e la funzione \(f\), essendo continua in \([a,b]\), assume tutti i valori compresi tra il minimo \(m\) e il massimo \(M\)(teorema dei valori intermedi). Perciò esiste \(\xi\) in \([a,b]\) tale che

$$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)\, dt= f(\xi)$$


Questo conclude la dimostrazione.

Teorema fondamentale del calcolo integrale (prima parte)

Sia \(f\) una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\). La sua corrispondente funzione integrale, definita così

$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt$$


è derivabile in ogni punto in cui \(f(x)\) è continua e risulta che \(F’(x)= f(x)\).
Dimostrazione
Prendiamo un punto \(x_0\) nell’intervallo \([a,b]\) e consideriamo \(h>0\) una quantità infinitesima e positiva tale che \(x_0+h\) stia ancora in \([a,b]\). Consideriamo le funzioni integrali:

$$F(x_0)=\int_{a}^{x_0} f(t)\, dt$$


$$F(x_0+h)=\int_{a}^{x_0+h} f(t)\, dt$$


Osserviamo che possiamo riscrivere

$$F(x_0+h)=\int_{a}^{x_0} f(t)\, dt+\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\, dt $$


per le proprietà degli integrali definiti. Quindi otteniamo che

$$F(x_0+h)- F(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\, dt $$


Poiché \(f\) è continua in \([a,b]\) e quindi anche nel sottointervallo \([x_0,x_0+h]\), per il teorema della media integrale esiste \( \xi \) in \([x_0,x_0+h]\) tale che

$$ F(x_0+h)- F(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\, dt = f(\xi) (x_0+h-x_0)= f(\xi) (h)$$


Ne segue che

$$ \frac{F(x_0+h)- F(x_0)}{h}= f(\xi)$$


E passando al limite, ambo i membri, per \(h\) che tende a \(0\)

$$ \lim_{h \to 0} \frac{F(x_0+h)- F(x_0)}{h}= \lim_{h \to 0}f(\xi)$$


cioè

$$F’(x_0) = f(\xi)$$


Siccome

$$x_0 < \xi < x_0+h$$


Passando sempre al limite per \(h\) che tende a \(0\)

$$\lim_{h \to 0} x_0 < \lim_{h \to 0} \xi < \lim_{h \to 0} x_0+h$$


$$ x_0 < \lim_{h \to 0} \xi < x_0$$


per il teorema dei due carabinieri

$$\lim_{h \to 0} \xi=x_0$$


da cui

$$\lim_{h \to 0} f(\xi)=f(\lim_{h \to 0} \xi)= f(x_0)$$


quindi \(F’(x_0) = f(x_0)\) e vale per ogni \(x_0\) nell’intervallo.

Teorema fondamentale del calcolo integrale (seconda parte)

Sia \(f\) una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\) che ammette una primitiva \(G\) nell’intervallo allora vale la seguente formula:

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx=G(b) -G(a) $$


Dimostrazione
Come per il primo teorema abbiamo la funzione integrale:

$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt$$


che soddisfa le seguenti relazioni:

$$F(b)=\int_{a}^{b} f(t)\, dt \quad F(a)=\int_{a}^{a} f(t)\, dt=0 $$


quindi possiamo scrivere

$$F(b)- F(a)=\int_{a}^{b} f(t)\, dt$$


Ora \(G\) è una primitiva di \(f\), ciò vuol dire che per definizione di primitiva \(G’=f\) e

$$F(x)=\int_{a}^{x} G’(t)\, dt$$


e per la prima parte del teorema vale

$$F’(x)= G’(x) \Rightarrow F’(x)-G’(x)=0 \Rightarrow (F(x)-G(x))’=0$$


l’ultima relazione ci dice che \(F(x)-G(x)\) è costante, quindi è uguale ad una certa costante reale \(c\)

$$F(x)-G(x)=c \Rightarrow F(x)=G(x)+c $$


Concludendo

$$\int_{a}^{b} f(t)\, dt= F(b)- F(a)= G(b)+c - G(a)-c= G(b) - G(a)$$