Molto spesso gli esercizi richiedono la risoluzione di equazioni polinomiali di grado maggiore di \(2\), però noi conosciamo delle formule risolutive per le equazioni solo fino al grado \(2\).
Come facciamo allora in questi casi?
Una strategia vincente è trovare una scomposizione del polinomio associato all’equazione in polinomi di grado minore per poi vedere se riusciamo a risolvere singolarmente quelli. Dal problema iniziale, allora, ci siamo ricondotti al problema della scomposizione di un polinomio in polinomi di grado minore. In merito possiamo usare le scomposizioni che già conosciamo, per esempio i prodotti notevoli o i raccoglimenti di polinomi.
Ma come facciamo se non possiamo usare né l’uno né l’altro?
Qui accorre in nostro aiuto il metodo di scomposizione dei polinomi di Ruffini o regola di Ruffini!
ATTENZIONE: in alcuni esercizi potrebbero esserci metodi più rapidi per scomporre un polinomio e la regola di Ruffini, quindi, potrebbe essere meno pratica… prima di usarla osservate bene se potete usare metodi di scomposizione più rapidi.
Regola di Ruffini
Sia \(P(x)\) un polinomio della forma
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+….+a_1x+a_0$$
con \(a_n,\>a_{n-1},…,\>a_1,\>a_0\) coefficienti reali.
Tramite la regola di Ruffini possiamo scrivere questo polinomio come prodotto di un polinomio di grado \(1\) con un polinomio di grado \(n-1\), cioè
$$P(x)=Q(x)\cdot R(x)$$
dove
$$Q(x)=x+c$$
$$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+….+b_1x+b_0$$
con \(b_{n-1},…,\>b_1,\>b_0,\>c\) tutti coefficienti reali.
Andiamo a vedere come si fa questa scomposizione, svolgendo un esercizio in parallelo alla spiegazione teorica per fissare il concetto. Prendiamo come esempio il polinomio
$$G(x)=x^3-x^2+2$$
come prima cosa dobbiamo:
- Trovare una radice del polinomio
In generale, se abbiamo, come prima, un polinomio generico
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+….+a_1x+a_0$$
esiste un teorema algebrico che ci da informazioni sulle radici del polinomio. Consideriamo per questo il quoziente
$$\frac{a_0}{a_n}$$
dove \(a_0\) è il coefficiente associato al termine noto e \(a_n\) è il coefficiente associato al termine direttivo del polinomio. Allora una radice di quest’ultimo sarà della forma
$$\frac{p}{q}$$
dove \(p\) è un divisore di \(a_0\) e \(q\) è un divisore di \(a_n\).
Nel nostro esempio \(G(x)\)
$$Divisori\>di\>2=\{\pm 1, \pm 2\}$$
$$Divisori\>di\>1=\{\pm 1\}$$
Quindi tutte le possibili soluzioni della forma “\(\frac{p}{q}\)” stanno nell’insieme:
$$\{\pm 1, \pm 2\}$$
Ora non ci resta che valutare il polinomio in questi numeri e vedere quali di questi lo azzera…
$$G(1)=1^3-1^2+2=1-1+2=2$$
$$G(-1)=(-1)^3-(-1)^2+2=-1-1+2=0$$
\(-1\) azzera il polinomio!!! Abbiamo trovato, quindi, la radice cercata!! - Scomporre il polinomio con la regola di Ruffini.
Componiamo la seguente tabella
1 -1 0 2 -1 dove:
nella prima riga ci sono i coefficienti del polinomio, messi in ordine decrescente (il primo termine è il coefficiente associato a \(x^3\), il secondo è quello associato a \(x^2\)…), su cui vogliamo applicare la regola di Ruffini;
nella seconda riga c’è la radice del polinomio che abbiamo precedentemente trovato;
Ora procediamo completando man mano la seconda riga e l’ultima riga della tabella. Cominciamo facendo il prodotto tra il coefficiente di grado massimo e la radice del polinomio e poi sommiamo il risultato di questo prodotto al coefficiente associato a \(x^2\). Rappresentiamo passo per passo ciò che abbiamo detto a parole con la tabella… il coefficiente di grado massimo “cade” nell’ultima riga:
1 -1 0 2 -1 1 ora facciamo il prodotto tra \(-1\) (radice del polinomio) e \(1\) (coefficiente di grado massimo) e lo posizioniamo così
1 -1 0 2 -1 -1 · 1=-1 1 e infine facciamo la somma tra \(-1\) (coefficiente associato a \(x^2\)) e \(-1\) (risultato del prodotto fatto al passo precedente)
1 -1 0 2 -1 -1 · 1=-1 1 -1-1=-2 Ora iteriamo tutto questo procedimento considerando il prodotto tra la radice del polinomio e l’elemento appena trovato dell’ultima riga. Completiamo, quindi, la tabella in questo modo:
1 -1 0 2 -1 -1 · 1=-1 -1 · -2=2 -1 · 2=-2 1 -1-1=-2 0+2=2 2-2=0 Osservazione: l’ultima addizione che facciamo mi deve dare \(0\), poiché se non fosse \(0\) il numero \(-1\) non sarebbe una radice del polinomio.
Ora i termini dell’ultima riga della tabella non sono altro che i coefficienti, disposti come prima in modo decrescente, del polinomio di secondo grado che moltiplicato per
$$(x-(-1))$$
Mi da il polinomio di partenza:
$$G(x)=x^3-x^2+2=(x+1) \cdot (x^2-2x+2)$$
Abbiamo trovato, quindi, la fattorizzazione che volevamo.
Cosa abbiamo detto implicitamente qui?
Abbiamo detto che se \(d\) è una radice di \(P(x)\), allora il polinomio \(Q(x)=x-d\) e un divisore di \(P(x)\) e vale
$$P(x)=Q(x)\cdot R(x)$$
con \(R(x)\) polinomio risultante dalla divisione di \(P(x)\) per \(R(x)\).