Si possono usare le equazioni di primo grado per risolvere dei problemi, ma per alcuni tipi non basta impostare un’equazione, ma più di una, per giungere a una soluzione. Un esempio sono i problemi in cui vi sono due incognite e due condizioni differenti sulle incognite che ci aiutano ad arrivare alla soluzione. Per risolvere questo tipo di problemi si usano semplicemente i sistemi di primo grado. Vediamo insieme alcune tipologie di problemi con i sistemi lineari…

Problema 1

Sia \(ABCD\) un rettangolo di base \(\overline{AB}\) e altezza \(\overline{BC}\). Sapendo che la somma di base e altezza è uguale a \(62\>cm\) e la loro differenza è uguale a \(30\>cm\), calcolare il perimetro e l’area del rettangolo.

Svolgimento:
La prima cosa che dobbiamo fare è tradurre in formule le informazioni date dal problema. Sappiamo che la somma della base \(\overline{AB}\) con l’altezza \(\overline{BC}\) è uguale a \(62\>cm\), quindi possiamo scrivere

$$\overline{AB}+\overline{BC}=62$$


Allo stesso modo la differenza tra la base e l’altezza è uguale a \(30\>cm\)

$$\overline{AB}-\overline{BC}=30$$


Osserviamo che ai fini della risoluzione del problema, poiché non l’abbiamo indicato nel testo dell’esercizio, è indifferente se consideriamo la differenza

$$\overline{AB}-\overline{BC}=30\quad oppure \quad \overline{BC}-\overline{AB}=30$$


Se avessimo detto che la base era maggiore dell’altezza allora avremmo dovuto considerare la prima equazione invece che la seconda, viceversa se avessimo detto che l’altezza era maggiore della base. Consideriamo la prima equazione per svolgere l’esercizio.
Abbiamo il seguente sistema lineare di primo grado:

$$\begin{cases} \overline{AB}+\overline{BC}=62\\ \overline{AB}-\overline{BC}=30 \end{cases}$$


Risolvendo il seguente avremo che \(\overline{AB}=46\>cm\) e \(\overline{BC}=16\>cm\). Da qui, applicando le formule del perimetro e dell’area di un rettangolo, è facile arrivare alla soluzione del problema.

Problema 2

La somma delle età di tre persone è uguale a 160 anni. Sappiamo che la prima persona a 30 anni in più della seconda e che la terza ha 16 anni in più rispetto alla differenza delle età della prima persona con la seconda persona. Quanti anni ha la prima persona? La seconda? La terza?

Svolgimento:
Dobbiamo trovare le seguenti incognite:

$$x=\{età\>prima\>persona\}$$


$$y=\{età\>seconda\>persona\}$$


$$z=\{età\>terza\>persona\}$$


La somma delle età delle persone è uguale a

$$x+y+z=160$$


Sappiamo ora che la prima persona \(x\) ha 30 anni in più della seconda persona \(y\), quindi, traducendo questa informazione in linguaggio matematico, avremo che

$$x=y+30$$


Ora la terza persona \(z\) ha 16 anni in più rispetto alla differenza delle età della prima \(x\) con la seconda \(y\)

$$z+16=x-y$$


Dobbiamo semplicemente risolvere il seguente sistema lineare del primo ordine con tre equazioni e tre incognite

$$\begin{cases} x+y+z=160\\ x=y+30\\ z+16=x-y \end{cases}$$


Che da come soluzione del problema

$$x=88$$


$$y=58$$


$$z=14$$

Problema 3

La somma delle lunghezze di 3 segmenti fa \(90\>cm\). Calcolare le lunghezze dei singoli segmenti sapendo che il primo segmento è il doppio del secondo e che il secondo segmento è il triplo del terzo.

Svolgimento:
Come prima diamo delle lettere per indicare le incognite che dobbiamo trovare:

$$a=\{lunghezza\>primo\>segmento\}$$


$$b=\{lunghezza\>secondo\>segmento\}$$


$$c=\{lunghezza\>terzo\>segmento\}$$


La somma delle lunghezze fa \(90\>cm\)

$$a+b+c=90$$


Il primo segmento è il doppio del secondo

$$a=2b$$


e il secondo è il triplo del terzo

$$b=3c$$


Abbiamo, quindi, il seguente sistema lineare

$$\begin{cases} a+b+c=90\\ a=2b \\ b=3c \end{cases}$$


che mi da la soluzione del problema:

$$a=54\>cm$$


$$b=27\>cm$$


$$c=9\>cm$$