Abbiamo già visto che cosa sono le successioni e come sono definite, tralasciando però alcune proprietà che le caratterizzano: il segno di una successione, la monotonia di una successione e la limitatezza di una successione. Dopo aver elencato queste proprietà, diamo una definizione di limite di una successione.

Segno di una successione

Sia \(\{a_n\}_{n}\) una successione numerica, allora \(\{a_n\}_{n}\) si dice:

  • positiva, se tutti i suoi termini sono maggiori di \(0\)

    $$a_n > 0 \text{ per ogni numero naturale n}$$

  • non negativa, se tutti i suoi termini sono maggiori o uguali a \(0\)

    $$a_n \ge 0 \text{ per ogni n naturale}$$

  • negativa, se tutti i suoi termini sono minori di \(0\)

    $$a_n < 0 \text{ per ogni n naturale}$$

  • non positiva, se tutti i suoi termini sono minori o uguali a \(0\)

    $$a_n \le 0 \text{ per ogni n naturale}$$

  • nulla se tutti i suoi termini sono nulli

    $$a_n = 0 \text{ per ogni n naturale}$$

Nei casi in cui i termini della successione non soddisfano nessuna delle condizioni elencate, si parla di successioni a segno variabile. Un particolare caso di queste sono le successioni a segno alterno, cioè successioni per cui il prodotto di due termini consecutivi da un numero negativo: \(a_n \cdot a_{n+1} < 0\) sempre per ogni numero naturale \(n\).

Successioni monotone

Un’altra proprietà importante di alcune successioni è la monotonia. Andiamo ad elencare che tipi di monotonia potremmo avere….

Definizioni
- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) si dice monotona crescente se, al crescere di \(n\), i suoi termini diventano sempre più grandi

$$a_n < a_{n+1} \text{ per ogni n naturale}$$


- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) si dice monotona non decrescente se

$$a_n \le a_{n+1} \text{ per ogni n naturale}$$


- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) si dice monotona decrescente se, al crescere di \(n\), i suoi termini diventano sempre più piccoli

$$a_n > a_{n+1} \text{ per ogni n naturale}$$


- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) si dice monotona non crescente se

$$a_n \ge a_{n+1} \text{ per ogni n naturale}$$

Osservazione
Per le successioni monotone esiste sempre il limite!!! (definiremo dopo il limite di una successione)

Successioni limitate

Anche la limitatezza, come la monotonia, è una proprietà di alcune successioni. Diamo delle definizioni!

Definizioni
- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) è limitata superiormente se esiste un numere reale \(M\) tale che \(a_n \le M\) per ogni \(n\) naturale.
- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) è limitata inferiormente se esiste un numere reale \(m\) tale che \(a_n \ge m\) per ogni \(n\) naturale.
- Una successione \(\{a_n\}_{n}\) è limitata se è contemporaneamente limitata superiormente e inferiormente, cioè se esistono \(M\) e \(m\) numeri reali tali che \(m \le a_n \le M\) per ogni \(n\) naturale.
- Una successione che non è limitata si dice illimitata.

Osservazione
Se una successione è limitata non vuol dire che ammette limite! ATTENZIONE!

Limite di una successione

Come per le funzioni, esiste anche una definizione di limite di una successione:

  • se ammette un limite finito diremo che la successione converge;
  • se ammette un limite infinito diremo che la successione diverge;

Definizione (caso finito)
Sia \(\{a_n\}_{n}\) una successione, diciamo che

$$\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n=l$$


se per ogni \(\epsilon > 0\) esiste un indice naturale \(n_0\) tale che per ogni numero naturale \(n > n_0\)

$$|a_n – l|< \epsilon$$


e la successione si dice convergente a \(l\).

Definizione (caso infinito)
Sia \(\{a_n\}_{n}\) una successione, diciamo che

$$\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty$$


se per ogni \(M > 0\) esiste un indice naturale \(n_0\) tale che

$$a_n >M$$


per ogni numero naturale \(n > n_0\).
La successione si dice divergente.

Un caso simile e che tralasciamo è il limite che mi dà \(-\infty\) come risultato.