In quest’articolo presentiamo tre teoremi di trigonometria molto importanti, poiché si applicano su ogni tipo di triangolo e ci danno formule utili per il calcolo di lati e angoli. Stiamo parlando dei seguenti teoremi:
- Il teorema dei seni;
- Il teorema delle proiezioni;
- Il teorema del coseno, o meglio conosciuto come il teorema di Carnot;
Scopriamo insieme quali sono i loro enunciati e le formule che si ricavano da essi.
Teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi, le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti, perciò è costante il rapporto tra ciascun lato e il seno dell’angolo opposto
Traduciamo in formule l’enunciato qui sopra! Sia \(ABC\) un triangolo qualsiasi con angoli nei relativi vertici uguali a \(\hat{A}=\alpha\), \(\hat{B}=\beta\), \(\hat{C}=\gamma\) e con lunghezza dei lati uguale a \(\overline{BC}=a\), \(\overline{AC}=b\) e \(\overline{AB}=c\). Siccome il rapporto tra ciascun lato e il seno dell’angolo opposto è costante, avremo che
$$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}$$
Per dimostrare il seguente risultato dobbiamo ricondurci al teorema della corda di una circonferenza. Per fare ciò si considera la circonferenza circoscritta al triangolo di centro l’intersezione degli assi del triangolo, anche detto circocentro. Il teorema ci dice che la corda di una circonferenza è uguale al diametro di quest’ultima per il seno di un qualunque angolo che sottende la corda, perciò, chiamato \(d\) il diametro, avremo che
$$a=d\cdot sin \alpha$$
Poiché \(a\) è una corda della circonferenza e \(\alpha\) l’angolo sotteso ad \(a\). Possiamo ripetere il ragionamento anche per \(b\) e \(c\):
$$b=d\cdot sin \beta$$
$$c=d\cdot sin \gamma$$
Infine si ricava la seguente uguaglianza
$$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}=d$$
che conclude la dimostrazione del teorema.
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualsiasi, la misura di ogni lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che essi formano con il lato iniziale
Sia \(ABC\) un triangolo qualsiasi con angoli e lati uguali a quelli introdotti nel precedente teorema. L’enunciato ci dice che
$$a=b\cdot cos \gamma + c\cdot cos \beta$$
$$b=a\cdot cos \gamma + c\cdot cos \alpha$$
$$c=b\cdot cos \alpha + a\cdot cos \beta$$
Dimostriamo solo una delle seguenti formule, lasciando la dimostrazione delle altre al lettore poiché si applica sempre lo stesso ragionamento. La dimostrazione è differente a seconda che il triangolo sia acutangolo o ottusangolo.
Facciamo prima il caso in cui il triangolo è acutangolo per trovare la relazione sul lato \(\overline{AB}=c\). Si considera l’altezza del triangolo \(\overline{CH}\) perpendicolare al lato \(c\). Sappiamo che i segmenti \(\overline{AH}\) e \(\overline{HB}\), applicando le formule trigonometriche, sono uguali a
$$\overline{AH}=b\cdot cos \alpha $$
$$\overline{HB}=a \cdot cos\beta$$
Ora poiché
$$\overline{AH}+\overline{HB}=c $$
Concludiamo
$$c=b\cdot cos \alpha + a\cdot cos \beta$$
Se il triangolo è ottusangolo in \(\hat{B}=\beta\), per trovare la relazione sul lato \(\overline{AB}=c\), consideriamo il triangolo rettangolo \(ADC\) tale che
$$c+\overline{BD}=\overline{AD}$$
$$c=\overline{AD}-\overline{BD}$$
Come prima, applicando le formule trigonometriche, avremo che
$$\overline{AD}=b\cdot cos \alpha$$
$$\overline{BD}=a\cdot cos (\pi-\beta)=-a\cdot cos \beta $$
E di nuovo concludiamo
$$c=b\cdot cos \alpha + a\cdot cos \beta$$
Teorema di Carnot
In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto della misura di essi per il coseno dell’angolo tra questi due
Sia \(ABC\) un triangolo qualsiasi con angoli e lati uguali a quelli introdotti nei precedenti teoremi. L’enunciato ci dice che
$$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot cos \alpha$$
$$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos \beta$$
$$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos \gamma$$
Dimostriamo la formula sempre per il lato \(\overline{AB}=c\) tralasciando il caso in cui un angolo sia ottuso poiché si fa un ragionamento analogo a quello fatto nel teorema delle proiezioni. Nel caso in cui abbiamo angoli acuti, si considera l’altezza del triangolo \(\overline{AH}\) perpendicolare al lato \(a\). Considerando il triangolo \(AHB\) avremo per le formule trigonometriche che
$$\overline{AH}=b\cdot sin \gamma$$
$$\overline{HB}=a-\overline{CH}=a-b\cdot cos \gamma$$
Ora il teorema di Pitagora ci dice che
$$c^2=(\overline{AH})^2+(\overline{HB})^2$$
Da cui abbiamo la relazione
$$c^2=b^2\cdot sin^2 \gamma + a^2 + b^2 \cdot cos^2 \gamma -2\cdot a\cdot b \cdot cos \gamma=$$
$$= a^2 + b^2 \cdot (cos^2 \gamma +sin^2 \gamma )-2\cdot a\cdot b \cdot cos \gamma=$$
$$= a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos \gamma $$
Che conclude la dimostrazione.