I problemi con le proporzioni sono molto semplici da risolvere una volta capito il meccanismo che ci sta sotto. La difficoltà, come in tutti i problemi di matematica, sta nel leggere il testo del problema, capirne la richiesta e, una volta fatto questo, tradurlo in linguaggio matematico.
Nel nostro caso lo traduciamo in linguaggio matematico con le proporzioni e le loro proprietà. Una proprietà molto utilizzata a questo scopo è la proprietà fondamentale con la ricerca del quarto proporzionale, ma talvolta si possono trovare anche la proprietà del comporre e la proprietà dello scomporre. Vediamo insieme alcuni problemi risolvibili con le proporzioni.
Problema 1
Un atleta fa 280 flessioni a settimana per mantenersi in allenamento per una gara. Sapendo che l’allenamento specifico dura in tutto 60 giorni, quanto flessioni avrà fatto a fine allenamento?
Svolgimento:
Abbiamo il numero di flessioni che l’atleta fa in una settimana e vogliamo sapere quanto ne fa in 60 giorni complessivi. La prima cosa che dobbiamo notare è che abbiamo il rapporto numero di flessioni/numero di giorni per una settimana e dobbiamo trovare il rapporto numero di flessioni/numero di giorni per 60 giorni. Dobbiamo impostare una proporzione del tipo:
$$\{numero\>flessioni\}:\{numero\>giorni\}=\{numero\>flessioni\}:\{numero\>giorni\}$$
Denotando con \(x\) il numero di flessioni fatte a fine allenamento, avremo che
$$280:7=x:60$$
Che, risolvendo grazie alla proprietà fondamentale, mi da
$$x=\frac{280\cdot 60}{7}=2400$$
L’atleta fa 2400 flessioni in 60 giorni!
Problema 2
In una festa in spiaggia il rapporto tra il numero di uomini e il numero di donne è \(\frac{6}{7}\). Sapendo che partecipano in tutto 52 persone, quante donne e uomini sono presenti alla festa?
Svolgimento:
Nel problema non conosciamo il numero di uomini e di donne presenti alla festa. Denoto:
$$x=\{numero\>uomini\}$$
$$y=\{numero\>donne\}$$
Sappiamo che il rapporto tra il numero di uomini e il numero di donne è
$$\frac{numero\>uomini}{numero\>donne}=\frac{6}{7}$$
Riscrivendo il tutto con la terminologia introdotta all’inizio avremo:
$$\frac{x}{y}=\frac{6}{7}$$
Che mi da la proporzione
$$x:y=6:7$$
Ora la somma tra gli uomini e le donne che partecipano alla festa da il numero totale di partecipanti alla festa, che è un dato noto del problema!
$$x+y=52$$
Ci conviene usare la proprietà del comporre
$$(x+y):x=(6+7):6$$
$$52:x=13:6$$
Da qui segue che il numero di uomini è uguale a
$$x=\frac{52\cdot 6}{13}=24$$
E di conseguenza il numero di donne è
$$24+y=52$$
$$y=52-24=28$$
Problema 3
Un autobus di linea fa lo stesso percorso ogni giorno. Lavorando 9 ore al giorno, percorre in 3 giorni 90 km in tutto. Quanto percorrerà lo stesso autobus se lavora per 6 ore al giorno in 5 giorni?
Svolgimento:
Questo problema è più complicato rispetto ai precedenti, ma usando un po’ d’inventiva si può risolvere impostando due proporzioni…
Calcoliamo prima di tutto quanto sarebbero i km percorsi se l’autobus lavorasse 9 ore al giorno per 5 giorni. Indicato con \(x\) il numero di km percorsi in 5 giorni per 9 ore al giorno, avremo la seguente proporzione
$$3:90=5:x$$
Notiamo che al primo e al terzo membro ci sono i numeri di giorni e al secondo e al quarto membro i km percorsi. Avremo che
$$x=\frac{90\cdot 5}{3}=150$$
Percorre 150 km in 5 giorni lavorando 9 ore al giorno. Ora impostiamo la proporzione che da il numero di km percorsi in 5 giorni per 6 ore al giorno. Questa volta, poiché il numero di giorni è fissato, dobbiamo impostare una proporzione del tipo
$$\{numero\>ore\}:\{numero\>km\}=\{numero\>ore\}:\{numero\>km\}$$
Nello specifico, indicato con \(y\) il numero di km effettuato in 6 ore per 5 giorni, avremo
$$6:y=9:150$$
Che da
$$y=\frac{6\cdot 150}{9}=100$$
Quindi l’autobus percorre 100 km in 5 giorni lavorando 6 ore al giorno.