In questa lezione iniziamo a parlare di proporzioni. Spesso, anche nella vita di tutti i giorni, sentiamo parlare di grandezze e quantità proporzionali tra loro. In questa lezione inizieremo a dare i primi esempi di proporzione per cercare di capirne il significato. N
elle prossime lezioni vedremo come usare questo strumento per risolvere problemi pratici e scopriremo in che modo non avere problemi con questo tipo di operazione.

Definizione di proporzione

Le proporzioni sono relazioni che coinvolgono quattro grandezze $a,b,c,d.$
Una proporzione appare solitamente nella seguente forma:

$$ a: b = c : d $$


e si legge “ $ \ a $ sta a $ \ b $ come $ \ c $ sta a $ \ d $ ”
Il rapporto tra le quantità $ \ a $ e $ \ b $ è lo stesso che c’è tra le quantità $ \ c $ e $ \ d $ .

Esempio

$$ 6 : 3 = 10 : 5 $$

e si legge “ $ 6 $ sta a $ 3 $ come $ 10 $ sta a $ 5 $ ”

In effetti 6 : 3 = 2 e allo stesso modo 10 : 5 = 2.

Equivalentemente possiamo dire che 6 è il doppio di 3 allo stesso modo in cui 10 è il doppio di 5.

Le proporzioni servono proprio a questo, a mettere in relazione quantità che stanno in rapporto costante le une con le altre.
Passiamo a dare un po’ di nomi alle quantità che compaiono in una proporzione: data una proporzione:

$$ a: b = c : d $$

  • i numeri più esterni rispetto all’uguale vengono detti estremi proporzionali,
  • i numeri più interni rispetto all’uguale vengono detti medi proporzionali.

Per intenderci gli estremi proporzionali sono $ \ a$ e $ \ d $ e i medi proporzionali sono $ \ b $ e $ \ c $.

Alcune volte. quando è chiaro che si stia parlando di una proporzione, i termini vengono detti gli estremi e i medi della proporzione.

Osservazione

Richiamando il fatto che le frazioni non sono altro che rapporti, una proporzione, oltre che essere scritta nella forma:

$$ a: b = c : d $$


può essere scritta nella seguente forma più compatta, utilizzando le frazioni:

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

Utilizzando questa ultima scrittura possiamo dire che le quantità che compaiono in una proporzione a destra e sinistra del simbolo di uguale non sono altro che numeratori e denominatori di frazioni che sono equivalenti.

Alternativamente, al contrario, possiamo dire che due frazioni sono equivalenti se e soltanto se i numeratori e denominatori delle frazioni sono i medi e gli estremi di una proporzione.

Nelle prossima lezione vedremo le proprietà delle proporzioni e come queste possano essere utilizzate per risolvere problemi pratici.