In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni vedendone le prime proprietà. Per chi l’avesse dimenticata ripetiamo la definizione di proporzione che può essere considerata come una relazione che coinvolge quattro grandezze $a,b,c,d.$
Una proporzione appare solitamente nella seguente forma:

$$ a: b = c : d $$


e si legge “ $ \ a $ sta a $ \ b $ come $ \ c $ sta a $ \ d $ ”
Il rapporto tra le quantità $ \ a $ e $ \ b $ è lo stesso che c’è tra le quantità $ \ c $ e $ \ d $ .
Le proporzioni servono proprio a mettere in relazione quantità che stanno in rapporto costante le une con le altre. Vi ricordiamo inoltre che data la proporzione

$$ a: b = c : d $$

i numeri più esterni rispetto all’uguale si chiamano estremi proporzionali, mentre i più interni rispetto medi proporzionali.

Cioèi estremi proporzionali sono $ \ a$ e $ \ d $ e i medi proporzionali sono $ \ b $ e $ \ c $.
Alcune volte. quando è chiaro che si stia parlando di una proporzione, i termini vengono detti semplicemente estremi e medi della proporzione.

Proprietà delle proporzioni

Ora che abbiamo chiara la definizione di proporzione andiamo a vedere in che modo si risolve e soprattutto quali sono le proprietà che regolano questa operazione.

Proprietà fondamentale
Nella scorsa lezione abbiamo osservato che le quantità che compaiono in una proporzione a destra e sinistra del simbolo di uguale non sono altro che numeratori e denominatori di frazioni che sono equivalenti.

$$ a: b = c : d \qquad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$


Nella lezione sulle frazioni equivalenti abbiamo visto come capire quando due frazioni fossero o meno equivalenti, deve valere:

$$ a \times d = b \times c $$


Quest’ultima è proprio quella che viene chiamata proprietà fondamentali delle proporzioni.

In altre parole si ha che in una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Vediamo più velocemente tutte le altre proprietà di cui godono le proporzioni, altre uguaglianze che si ottengono sempre partendo dalla proporzione scritta nella seguente forma:

$$ a : b = c : d $$

- Proprietà dell’invertire

$$ b: a = d : c $$

- Proprietà del permutare i medi

$$ a : c = b : d $$

- Proprietà del permutare gli estremi

$$ d : b = c : a $$

- Proprietà del comporre

$$ (a+b) : b = (c+d) : d$$

$$ (a+b) : a = (c+d) : c$$

- Proprietà dello scomporre

$$ (a- b) : b = (c-d) : d$$

$$ (a-b) : a = (c-d) : c$$

- Proprietà del comporre e permutare

$$ (a+b) : (a - b) = (c+d):(c-d) $$

Mettendo insieme queste proprietà se ne possono anche trovare altre. Come esercizio si può provare a verificare che valgono queste proprietà applicate a una proporzione come la seguente:

$$ 6 : 3 = 10 : 5 $$

Nelle prossima lezione vedremo come si possano usare queste proprietà appena viste per risolvere problemi pratici.