Siete pronti per affrontare insieme un avvincente argomento? Iniziamo infatti, in questa e nelle prossime lezioni a parlare di equazioni esaminando di cosa stiamo parlando, la loro differenza con le identità e i diversi tipi di equazioni. Passeremo poi a vedere come si risolvono le equazioni di primo grado e soprattutto come possiamo usare questo strumento matematico per risolvere problemi teorici o quesiti più pratici. Iniziamo subito!

Equazioni: diamo una definizione

Cosa si intende per equazione? Una equazione non è nient’altro che un’uguaglianza fra due quantità.
Vediamo alcuni esempi di equazione per capire meglio di cosa stiamo parlando.

La seguente è una equazione:

3kg di pane = 6 euro

Come possiamo immaginare l’equazione precedente è equivalente alle seguente equazione

3kg di pane + 1 euro = 7 euro

Nelle prossime lezioni analizzeremo in dettaglio l’equivalenza tra equazioni e come possiamo usare l’equivalenza per risolvere l’equazione.

Matematicamente possiamo scrivere l’equazione precedente, nel modo seguente:

$$ 3x = 6 $$

Dove con x intendiamo il prezzo di pane al Kg.

Le equazioni vengono spesso utilizzate per conoscere il valore di certe incognite a partire da un uguaglianza che sappiamo essere vere.

Supponiamo di sapere che 3kg di pane = 6 euro o matematicamente che

$$3x =6$$

ci chiediamo, quanto costa un kg di pane??

In altre parole, matematicamente, stiamo cercando il valore dell’incognita \( x \).

In questo caso il valore dell’incognita è \( x = 2 \) infatti se un kg di pane costa 2 euro risulta che i tre kg di pane costino 6 euro.

Nelle prossime lezioni vedremo come risolvere le equazioni di questo tipo: le equazioni di primo grado in una sola incognita.

Esempio

Non tutte le equazioni sono di primo grado e in una sola incognità. Supponiamo di seguire una ricetta culinaria in cui:

(la quantità di sale in mg)^2 + (la quantità di farina in grammi) = \( \frac12 \) (numero di persone)

Possiamo riscrevere l’equazione precedente

$$ x^2 + y = \frac{1}{2} z $$

Supponiamo di conoscere il numero di persone per cui vogliamo cucinare \( z = 4 \) e vogliamo sapere quanta farina e quanto sale è necessario.

L’equazione finale

$$ x^2 + y = \frac{1}{2} z = \frac{1}{2} 4 = 2$$

$$ x^2 + y = 2$$

è una equazione di secondo grado in due incognite e non sarà trattata nel seguito.

Identità: definizione ed esempi pratici

Tra tutte le equazioni, ce ne sono alcune che sono particolari e che non dipendono dal valore di una qualche incognita ma che sono vere a prescindere.

Equazioni di questo tipo sono ad esempio

5 euro = 5 euro

3 caramelle = 2 caramelle + 1 caramella

e così via.

Queste particolari equazioni vengono dette identità. Formalmente un’identità è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche uguali e che è verificata per qualsiasi valore delle incognite ( a patto che le espressioni algebriche siano definite).

Esempio
Le seguenti identità:

$$ x = x $$

$$ 3=2+1 $$

$$ x+y = x+2y -y $$

$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} $$

Sono soddisfatte per qualunque valore delle incognite a patto che le espressioni algebriche abbiano senso. Nella pratica l’ultima identità non è valida per qualunque valore della \( x\) ma più precisamente è valida per qualunque \( x \) a patto che non sia 0. In tal caso l’espressione non avrebbe senso: non ha senso dividere per 0.