Nella scorsa lezione abbiamo parlato di proprietà commutativa, in questa lezione vedremo invece la proprietà associativa, un’altra proprietà che si applica all’operazione di addizione e moltiplicazione ma che, ancora una volta, non vale per la sottrazione e la divisione.
Come per ogni articolo di seguito vederemo non solo le regole e i modi di applicazione della formula, ma anche alcuni esempi in modo da avere chiara ogni questione.

Proprietà associativa dell’addizione

La proprietà associativa dell’addizione è la proprietà per cui dati più addendi di una addizione, possiamo associarli e sostituirli con la loro somma senza variare il risultato finale dell’addizione. Più formalmente, possiamo dire che:
In una addizione in cui sono coinvolti tre o più addendi possiamo sostituire due qualsiasi addendi consecutivi con la loro somma, senza che il risultato finale della addizione cambi.

Esempi

Ecco un esempio:
5 + 6 + 4 =
5 + ( 6 + 4 ) =
5 + 10 =
15.

Se avessimo svolto le operazioni nell’ordine in cui compaiono avremmo ottenuto

5 + 6 + 4 =
11 + 4 =
15,

In sostanza avremmo ottenuto esattamente lo stesso risultato di prima.
La stessa cosa avviene se si hanno più di 3 addendi. Al posto di qualunque due addendi di una espressione si può sostituire la loro somma.

In altre parole la proprietà associativa mi assicura che scrivere una addizione con più termini, senza specificare l’ordine con delle parentesi, non crea ambiguità: qualunque ordine si sceglie, il risultato finale non cambia.

Proprietà associativa del prodotto

Per il prodotto avviene esattamente la stessa cosa che avviene per l’addizione; più precisamente abbiamo che:
In una moltiplicazione in cui sono coinvolti tre o più fattori possiamo sostituire due qualsiasi fattori consecutivi con il loro prodotto, senza che il risultato finale della moltiplicazione cambi.

Esempi
3 x 2 x 5 =
3 x (2 x 5) =
3 x 10 =
30.

Che è lo stesso risultato che avremmo ottenuto svolgendo i prodotti nell’ordine in cui questi appaiono nell’espressione:

3 x 2 x 5 =
6 x 5 =
30.

Quando la proprietà non vale?
Questa bella proprietà non vale però per la sottrazione e per la divisione in cui l’ordine in cui sono scritti i termini assume un’importanza.

Considera la seguente espressione
5 - 3 - 2.

Svolgendo le operazioni nell’ordine in cui appaiono (seguendo cioè le regole di priorità per lo svolgimento delle operazioni in una espressione) otterremmo

(5 – 3 ) - 2 =
2 -2 =
0.

Se invece fossimo partiti dall’ultima sottrazione interpretando l’espressione nella seguente maniera:
5 - (3 - 2)

avremmo ottenuto l’espressione

5 - 1 =
4.

Che è un risultato diverso dal precedente ed è da considerare sbagliato dato che per ottenerlo abbiamo usato la proprietà associativa per la sottrazione che purtroppo non gode di questa proprietà.

Esempio
Anche per la divisione è scorretto usare la proprietà associativa; considera la seguente espressione:

8 : 4 : 2.

Seguendo le regole per le espressioni, cioè svolgendo le operazioni in cui compaiono avremmo

( 8 : 4 ) : 2 =
2 : 2 =
1.

D’altro canto se invece avessimo usato (in maniera impropria) la proprietà associativa riscrivendo l’espressione di partenza nel modo seguente:

8 : ( 4 : 2)

avremmo ottenuto

8 : 2 =
4,

che è un risultato diverso ed è da considerare errato.
Chiaramente questa proprietà per l’addizione e la moltiplicazione vale anche se i numeri usati non sono interi ma decimali.

Uso della proprietà associativa

La proprietà associativa può essere utile per semplificare i conti o permettere di farne alcuni a mente senza l’utilizzo di carta e penna. Consideriamo la seguente espressione:

76 + 4 + 15 + 5

La sua soluzione non sembra ovvia, eppure, usando la proprietà associativa, può essere riscritta nel modo seguente:

(76 + 4 ) + (15 + 5)

facendo le operazioni in questo ordine avremo la seguente espressione ridotta

80 + 20

che ha come risultato il numero 100.

Nella prossima lezione affronteremo la proprietà dissociativa che in qualche senso si può considerare come proprietà inversa alla proprietà associativa di cui abbiamo parlato in questa lezione.