In questa lezione parliamo della proprietà commutativa, proprietà che si applica all’operazione di addizione e moltiplicazione, ma che non vale per la sottrazione e la divisione.
Di seguito vediamo tutti i dettagli di questa proprietà, proponiamo qualche esempio per comprendere meglio la situazione e comprendere in che modo applicarla.

Proprietà commutativa della somma

A tutti è abbastanza chiaro che se abbiamo 4 mele e ne aggiungiamo 6 alla fine avremo 10 mele. Allo stesso modo se partiamo da 6 mele e ne aggiungiamo altre 4, sempre 10 mele avremo. Questa è esattamente la proprietà commutativa dell’addizione. Non ha importanza l’ordine in cui si sommano gli addendi o in altri termini: “Cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia”.

Esempi

Facciamo qualche esempio per riuscire a comprendere a pieno la questione:

  • 6 + 4 = 4 + 6 = 10
  • 3 + 2 = 2 + 3 = 5

La stessa cosa avviene se si hanno più di 2 addendi. Consideriamo ad esempio la seguente espressione:

3 + 2 + 5

Seguendo le regole delle espressioni, dovremmo svolgere le operazioni nell’ordine in cui sono scritte. Dovremmo svolgere prima “3+2” ottenendo l’espressione ridotta 5 + 5
che dà come risultato 10.

Se invece fossimo partiti dall’ultima somma “2 + 5” avremmo ottenuto un’altra espressione ridotta: 3 + 7,ottenendo comunque lo stesso risultato di prima: 10

Addirittura avremmo potuto calcolare “3 + 5” ottenendo l’espressione ridotta 2 + 8 giungendo, ancora una volta, allo stesso risultato.

Proprietà commutativa del prodotto

Per il prodotto avviene esattamente la stessa cosa che avviene per la somma; non ha importanza in che modo moltiplichiamo dei numeri fra di loro, più precisamente:
Cambiando l’ordine dei fattori, il risultato non cambia”.

Esempi:

  • 3 x 2 = 2 x 3 = 6
  • 5 X 4 = 4 x 5 = 20
  • (-2) x 2 = -4

e la stessa cosa vale se ho più fattori:

2 x 3 x 4 = 3 x 4 x 2 = 2 x 4 x 3 = … = 24

Quando la proprietà non vale?
Questa bella proprietà non vale però per la sottrazione e per la divisione in cui l’ordine in cui sono scritti i termini assume un’importanza:

Esempi

5 - 4 = 1 d’altro canto 4 - 5 = -1

3 : 2 = 1,5 mentre 2 : 3 = 0,6666..

Chiaramente questa proprietà per l’addizione e la moltiplicazione vale anche se i numeri usati non sono interi ma decimali.

Uso della proprietà commutativa

La proprietà commutativa può essere utile per semplificare i conti o permettere di farne alcuni a mente senza l’utilizzo di carta e penna.

Esempio
Consideriamo la seguente espressione:

76 + 5 + 15 + 4

La sua soluzione non è ovvia, eppure, usando la proprietà commutativa può essere riscritta nel modo seguente:

76 + 4 + 15 + 5;

facendo le operazioni in questo ordine avremo la seguente espressione ridotta

80 + 15 + 5

che possiamo anche riscrivere (riutilizzando la proprietà commutativa) come

15 + 5 + 80.

Adesso facendo le operazioni nell’ordine in cui sono state scritte otteniamo l’espressione

20 + 80

che ha come risultato il numero 100.

Nella prossima lezione parleremo ancora di una proprietà che vale per l’addizione e la moltiplicazione: la proprietà associativa.