In questa lezione parliamo ancora di numeri razionali. I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale, numeri con la virgola per intenderci, come abbiamo visto nella precedente lezione, non tutti i numeri di questo tipo sono però razionali.
Per definizione un numero è razionale se può essere scritto come rapporto di due numeri interi. In questa lezione vedremo come passare dalla rappresentazione di un numero razionale in termini di frazione a quella di in termini di numero decimale e vedere di che tipologia di numero decimale si tratta.

Numeri decimali razionali
Nella scorsa lezione abbiamo visto le diverse tipologie di numero decimale, le richiamiamo brevemente.

  • Numero decimale limitato: si dicono numeri decimali limitati quei numeri che hanno la parte decimale composta da un numero finito di cifre;
  • Numero decimale periodico: numeri decimali periodici si dividono in due tipi, numeri decimali periodici semplici, quei numeri che hanno la parte decimale composta da un numero di cifre che si ripete infinite volte. Seconda tipologia sono i numeri decimali periodici misti, numeri che hanno la parte decimale composta da un numero di cifre che si ripete infinite volte preceduto da alcume cifre fra il periodo e la parte intera. Queste cifre vengono dette l’antiperiodo del numero decimale.

La notazione dei numeri periodici
Per denotare un numero periodico, invece di scrivere infinite volte il periodo, si scrive una sola volta con una barra orizzontale sopra a indicare che si tratta del periodo e che è ripetuto infinite volte.
Esempio

$$ 0,78 99999... = 0,78 \overline{9} $$


$$ 4, 6525252... = 4, 6 \overline{52} $$

Per altri esempi ti consiglio di dare un’occhiata alla lezione precedente sulle frazioni generatrici.

Dalla frazione al numero decimale

La prima cosa che vorremmo sapere guardando il numero razionale è che tipo di numero decimale questa rappresenti. Vediamo insieme i passaggi per determinarlo.
Data la frazione si riduce ai minimi termini e si scompone in fattori primi il denominatore. A questo punto dobbiamo operare nel seguente modo:

  • Se il denominatore è 1 allora abbiamo un numero intero
  • Se tra i fattori del denominatore appare solo il 5 e il 2 allora la frazione genera un numero decimale limitato.
  • Se tra i fattori non compaiono né il 5 né il 2 allora la frazione genera un numero decimale illimitato periodico semplice
  • Se tra i fattori della scomposizione del denominatore appaiono altri numeri primi oltre al 2 o al 5 allora la frazione genera un numero decimale illimitato periodico misto.

Chiaramente per trovare il numero decimale generato dalla frazione è sufficiente fare la divisione tra il numeratore e il denominatore utilizzando l’algoritmo di divisione in colonna o per i più sfaticati con l’aiuto di una calcolatrice.

Esempi
1) Ci chiediamo che tipo di numero decimale sia generato dalla seguente frazione

$$ \frac{12}{2}. $$


Lo scomponiamo ai minimi termini.

$$ \frac{6}{1}. $$


Il denominatore è 1 alora il numero finale è 6:1 = 6; un intero.

2) Ci chiediamo che tipo di numero decimale sia generato dalla seguente frazione

$$ \frac{13}{20}. $$


E’ già ridotta ai minimi termini perché 13 è un numero primo e di sicuro non avrà un divisore comune con 20 dato che 20 non è divisibile per 13.

$$ \frac{13}{20}. $$


Il denominatore è 20 scomposto abbiamo

$$ 20 = 2 ^2 \times 5 $$


Nella scomposizione compaiono solo il 2 e il 5. Ci aspettiamo che il numero finale sia un numero decimale limitato. Infatti 13:20 = 0.65 .

3) Ci chiediamo che tipo di numero decimale sia generato dalla seguente frazione

$$ \frac{4}{3}. $$


È già ridotta ai minimi termini perché 3 è un numero primo e di sicuro non avrà un divisore comune con 4 dato che 4 non è divisibile per 3.
Il denominatore è 3, già scomposto in fattori primi

Nella scomposizione non compaiono nè il 2 nè il 5. Ci aspettiamo che il numero finale sia un numero decimale periodico semplice. Infatti $4:3 = 1,33333 \dots = 1, \overline{3} .$
Passiamo all’ultima tipologia
2) Ci chiediamo che tipo di numero decimale è generato dalla seguente frazione

$$ \frac{2}{12}. $$


Riduciamo ai minimi termini dividendo per 2 numeratore e denominatore.

$$ \frac{1}{6}. $$


Il denominatore è 6 scomposto in fattori primi abbiamo

$$ 6 = 2\times 3 $$


Nella scomposizione compare il 2 ma anche il 3 . Ci aspettiamo che il numero finale sia un numero decimale periodico misto. Infatti $ 1:6 = 0.16666 \dots = 0,1\overline{6} $ che ha come periodo 6 e antiperiodo 1.

Nella prossima lezione vedremo invece come risolvere la problematica opposta: come passare dal numero decimale alla frazione generatrice.