In questa lezione ricominciamo a parlare di numeri razionali. I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale, numeri con la virgola per intenderci. Non tutti i numeri di questo tipo sono però razionali. Per definizione un numero è razionale se può essere scritto come rapporto di due numeri interi, o detto in altro modo, può essere scritto come una frazione, per l’appunto la frazione generatrice.

Ricorda che
I numeri razionali sono tutti e soli quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. In altre parole sono quei numeri che possono essere espressi come rapporto di due numeri interi.
In formule, un numero razionale q è un numero della forma

$$ q= \frac{a}{b},$$


con a, b due numeri interi e b diverso da zero,
L’insieme dei numeri razionali si indica con

$$ \bf \mathbb{Q},$$

formalmente si ha che

$$ { \bf \mathcall{Q} }= \bigg \{ \frac{a}{b} \mbox{ tale che a, b sono numeri interi con b diverso da zero} \bigg \}. $$

Esempio
0,5 è un numero razionale infatti si ha che 0,5 = 1 : 2 = $\frac1{2}$

1,5 è un numero razionale infatti si ha che 1,5 = 3 : 2 = $\frac3{2}$
$-2,2 $ è un numero razionale infatti –2,2 = (-11) : 5 = $ \frac{-11}{5}$ =$ -\frac{11}{5} $

Numeri decimali razionali

Come si fa a capire se un numero decimale è razionale (e quindi se può essere espresso come una frazione - la frazione generatrice-)? Basta vedere di che tipo è il numero in questione.

  • Numero decimale limitato: si dicono numeri decimali limitati quei numeri che hanno la parte decimale composta da un numero finito di cifre

$$0,5 \qquad 1,4445 \qquad 103,345 \qquad 0,88 $$

  • Numero decimale periodico: i numeri decimali periodici si dividono in due tipi:

1) Numeri decimali periodici semplici: sono quei numeri che hanno la parte decimale composta da un numero di cifre che si ripete infinite volte. Esempio:

$$ 0,66666 \dots \qquad 5,12121212 \dots \qquad 325,777777 \dots $$

La parte periodica del numero viene detta periodo: nel nostro esempio i numeri hanno rispettivamente periodo pari a 6,12 e 7

2) Numeri decimali periodici misti
Sono quei numeri che hanno la parte decimale composta da un numero di cifre che si ripete infinite volte preceduto da alcume cifre fra il periodo e la parte intera. Queste cifre vengono dette l’antiperiodo del numero decimale.

Esempio

$$ 0,78 99999 \dots \qquad 4, 6 525252 \dots $$


Nel primo esempio il periodo è 9 e l’antiperiodo è 78
Nel secondo esempio il periodo è 52 e l’antiperiodo è 6

La notazione

Per denotare un numero periodico, invece di scrivere infinite volte il periodo, si scrive una sola volta con una barra orizzontale sopra a indicare che si tratta del periodo e che è ripetuto infinite volte.
Esempio

$$ 0,78 99999... = 0,78 \overline{9} $$


$$ 4, 6525252... = 4, 6 \overline{52} $$

Anche i numeri limitati sono in qualche senso periodici: sappiamo che se aggiungiamo uno zero in fondo alla scrittura decimale di un numero decimale limitato non lo cambiamo.

I numeri limitati possono essere visti come particolari numeri periodici misti che hanno parte decimale come antiperiodo e periodo = 0.
Anche i numeri periodici semplici sono particolari numeri periodici misti che non hanno antiperiodo

In questo senso possiamo dire che i numeri decimali che sono razionali sono tutti e soli i numeri periodici misti.
Nelle prossime lezioni vedremo come trovare la rappresentazione in termini di frazioni di questi numeri: quella che viene detta per l’appunto frazione generatrice.