Come abbiamo già visto la divisione tra un polinomio e un monomio si riconduce alla semplice divisione dei monomi del polinomio per il monomio dividendo e, quindi, alla semplice divisione tra monomi. Per due polinomi non possiamo applicare lo stesso ragionamento, come facciamo?
Vediamo insieme come procedere nella divisione tra due polinomi come si procede e quali sono le regole per riuscire a non sbagliare.

Divisione tra due polinomi

Partiamo con la nozione di divisibilità di un polinomio per un altro.
Un polinomio \(P_1(x)\) è divisibile per il polinomio \(P_2(x)\) se esiste un polinomio \(Q(x)\) per cui possiamo fattorizzare

$$ P_1(x)= P_2(x)\cdot Q(x)$$


Questa definizione ci da delle prime osservazioni.

  • Il polinomio \(P_2(x)\) non deve essere il polinomio nullo, poiché non ha senso dividere per \(0\) un qualunque polinomio;
  • Se \(P_1(x)=0\) e \(P_2(x)\neq 0\) allora il polinomio \(Q(x)\) deve essere necessariamente nullo poiché dalla definizione

    $$ 0= P_2(x)\cdot Q(x)$$


    e vale l’uguaglianza se e solo se

    $$ 0= P_2(x)\cdot 0=0$$

  • Sia \(n\) il grado del polinomio \(P_1(x)\) e \(m\) quello di \(P_2(x)\), ha senso dividere \(P_1(x)\) per \(P_2(x)\) se \(n>m\) perché, sempre dalla definizione, avremo la seguente relazione tra i gradi per la moltiplicazione tra due polinomi

    $$n=m+q$$


    con \(q\) il grado di \(Q(x)\). Poiché il grado è una quantità positiva, se \(n<m\) non sarebbe verificata l’uguaglianza appena scritta e l’operazione perderebbe senso.

Ma come per consuete divisioni tra numeri naturali, può accadere che il polinomio che dobbiamo dividere (nella definizione appena enunciata \(P_1(x)\)) non sia divisibile per il polinomio divisore (\(P_2(x)\)). In questo caso avremo un polinomio resto e quindi \(P_1(x)\) si può scrivere come

$$ P_1(x)= P_2(x)\cdot Q(x) + R(x)$$


dove il grado del polinomio \(R(x)\) deve essere minore del grado del polinomio \(P_2(x)\)

$$deg(R(x)) < deg(P_2(x))$$

Il polinomio \(Q(x)\) si dice polinomio quoziente e il polinomio \(R(x)\) si dice polinomio resto della divisione tra due polinomi. Si può dimostrare che esistono e sono unici dei polinomi \(Q(x)\) e \(R(x)\) che mi permettono questa scrittura, ma noi tralasciamo la dimostrazione concentrandoci sul trovare un algoritmo.
Vogliamo ora trovare un algoritmo che ci permette di determinare la divisione tra polinomi così come l’abbiamo presentata adesso, in particolare che ci permetta di trovare i due polinomi \(Q(x)\) e \(R(x)\). Presentiamolo facendo un esempio e spiegando cosa stiamo facendo di passo in passo. Siano:

$$ P_1(x)= 2x^4+x^5-3x^2-1+x$$


$$ P_2(x)=x+2$$


Vogliamo calcolare la divisione \(P_1(x): P_2(x)\).
Come primo passo dobbiamo ordinare i polinomi con grado di ordine decrescente, cioè dal grado più alto al grado più basso

$$ P_1(x)= x^5+2x^4-3x^2+x-1$$


$$ P_2(x)=x+2$$


Ora osserviamo che il polinomio \(P_2(x)\) è composto da due termini ed ha grado 1, quindi prendiamo in considerazione i due termini di grado più alto di \(P_1(x)\)

$$x^5+2x^4$$


Dobbiamo trovare un monomio tale che moltiplicato per \(P_2(x)\) mi dà come risultato un polinomio che sottratto ai termini di grado più alto mi fa scomparire \(x^5\), cioè

$$ x^5+2x^4- P_2(x)\cdot \{monomio\}= \{coefficiente\> numerico\}\cdot x^4$$


Il monomio cercato è \(x^4\)….

$$ x^5+2x^4- (x+2)\cdot x^4=0 $$


E abbiamo così che il primo termine del polinomio \(Q(x)\) è \(x^4\). Vista sul polinomio totale la sottrazione mi da:

$$ x^5+2x^4-3x^2+x-1- (x+2)\cdot x^4=-3x^2+x-1 $$


Quindi non ci resta che reiterare il procedimento per i termini

$$-3x^2+x$$


Avremo che il monomio cercato questa volta è \(-3x\)

$$-3x^2+x-(x+2)\cdot (-3x)=7x$$


Non abbiamo fatto altro che sottrarre al polinomio totale 2 polinomi!

$$ x^5+2x^4-3x^2+x-1- (x+2)\cdot x^4-(x+2)\cdot (-3x)=7x-1 $$


Reiterando ancora su questi ultimi due termini avremo

$$7x-1-(x+2)\cdot (7)=-15 $$


Cioè

$$ x^5+2x^4-3x^2+x-1- (x+2)\cdot x^4-(x+2)\cdot (-3x) -(x+2)\cdot (7)=-15 $$


Ora non possiamo più reiterare il processo, poichè \(-15\) ha grado minore di \(P_2(x)\) e come abbiamo visto l’operazione non avrebbe senso. Facendo un paio di calcoli algebrici avremo

$$ x^5+2x^4-3x^2+x-1= (x+2)\cdot x^4+(x+2)\cdot (-3x) +(x+2)\cdot (7)-15$$


$$ x^5+2x^4-3x^2+x-1= (x-2)\cdot (x^4-3x+7)-15 $$


e i polinomi che cercavamo

$$ Q(x)= x^4-3x+7\quad R(x)=-15$$