Un’espressione letterale, come ben sappiamo, è una combinazione di operazioni tra monomi o polinomi. A seconda del tipo, distinguiamo allora due tipi di espressioni letterali:

  • se l’espressione è una combinazione di operazioni tra monomi diremo che è un’espressione con i monomi. Attenzione: il risultato di questo tipo di espressioni potrebbe essere anche un polinomio;
  • se l’espressione è una combinazione di operazioni tra polinomi oppure tra monomi e polinomi diremo che è un’espressione polinomiale;

Oggi ci concentriamo sull’analizzare il caso delle espressioni con i monomi. Prima di tutto vediamo che regole di priorità ci sono per questo tipo di espressioni:

  • Prima di tutto bisogna svolgere le operazioni dentro le parentesi tonde, poi quelle tra parentesi quadre e infine quelle tra parentesi graffe;
  • Le operazioni, invece, hanno il seguente ordine: prima le potenze (ricorda se la potenza è al di fuori di una parentesi bisogna svolgere prima le operazioni dentro), poi le moltiplicazione e le divisioni nell’ordine elencato e infine le addizioni e le sottrazioni;

Vediamo insieme alcuni esempi per fissare il concetto…

Esempio 1

$$\biggl(-\frac{4}{7}xy\biggl)\cdot \biggl(-\frac{14}{4}x^2y\biggl):(-xy)^2=$$


Osserviamo che dentro le parentesi tonde non ci sono operazioni da svolgere. Svolgiamo, quindi, la potenza dell’espressione

$$=\biggl(-\frac{4}{7}xy\biggl)\cdot \biggl(-\frac{14}{4}x^2y\biggl):(x^2y^2)=$$


Poi la moltiplicazione

$$=(2x^3y^2):(x^2y^2)=$$


e infine la divisione

$$=2x;$$

Esempio 2

$$ (3x)^2 : (-5x)+\biggl\{\biggl[(2xy) \cdot \biggl(-\frac{1}{2}x \biggl) \cdot (-x)^2-\biggl( \frac{1}{5} x^5y^2\biggl) : (-2xy) \biggl] :\biggl( \frac{1}{2}x \biggl) \biggl\}: (-2x^2y)= $$


Nelle parentesi tonde, di nuovo, non ci sono operazioni da svolgere… passiamo alle parentesi quadre rispettando gli ordini di priorità delle operazioni. Svolgiamo l’unica potenza presente nella parentesi quadra

$$ = (3x)^2 : (-5x)+ \biggl\{ \biggl[ (2xy)\cdot \biggl(-\frac{1}{2} x \biggl) \cdot (x^2) -\biggl( \frac{1}{5} x^5y^2 \biggl) : (-2xy) \biggl] : \biggl( \frac{1}{2} x \biggl) \biggl\}: (-2x^2y)=$$


Le tre moltiplicazioni

$$=(3x)^2:(-5x)+\biggl\{ \biggl[(-x^2y)\cdot(x^2)-\biggl( \frac{1}{5} x^5y^2\biggl):(-2xy)\biggl]:\biggl(\frac{1}{2}x\biggl)\biggl\}: (-2x^2y)=$$


$$=(3x)^2 : (-5x)+\biggl\{\biggl[-x^4y-\biggl( \frac{1}{5} x^5y^2\biggl):(-2xy)\biggl]:\biggl(\frac{1}{2}x\biggl)\biggl\}: (-2x^2y)=$$


Ora tocca alla divisione

$$=(3x)^2:(-5x)+\biggl\{\biggl[-x^4y-\biggl( -\frac{1}{10} x^4y\biggl)\biggl]:\biggl(\frac{1}{2}x\biggl)\biggl\}: (-2x^2y)=$$


$$=(3x)^2:(-5x)+\biggl\{\biggl[-x^4y+\frac{1}{10} x^4y\biggl]:\biggl(\frac{1}{2}x\biggl)\biggl\}: (-2x^2y)=$$


Infine le operazioni restanti nelle quadre

$$=(3x)^2:(-5x)+\biggl\{\biggl[-\frac{9}{10} x^4y\biggl]:\biggl(\frac{1}{2}x\biggl)\biggl\}: (-2x^2y)=$$


Continuiamo con i soliti ordini priorità eseguendo le operazioni nelle graffe e le ultime operazioni rimanenti sempre nell’ordine di priorità delle operazioni

$$=(3x)^2:(-5x)+\biggl\{-\frac{9}{5} x^3y\biggl\}: (-2x^2y)=$$


$$=(9x^2):(-5x)+\biggl\{-\frac{9}{5} x^3y\biggl\}: (-2x^2y)=$$


$$=-\frac{9}{5}x+\frac{9}{10}x=$$


$$=-\frac{9}{10}x;$$

Esempio 3

$$[(0,\bar{3}a^3b-0,\bar{2}a^3b)\cdot(-b^3+0,5b^3)\cdot(ab^2+4ab^2)]:(-0,\bar{3}a^3b+0,\bar{4}a^3b)=$$


Conviene riportare questa espressione in forma frazionaria, quindi trasformiamo i numeri decimali in frazioni

$$=\biggl[\biggl(\frac{1}{3}a^3b-\frac{2}{9}a^3b\biggl)\cdot \biggl(-b^3+\frac{1}{2}b^3\biggl)\cdot(ab^2+4ab^2)\biggl]:\biggl(-\frac{1}{3}a^3b+\frac{4}{9}a^3b\biggl)=$$


Svolgiamo, ora, le operazioni dentro le parentesi tonde

$$=\biggl[\biggl(\frac{1}{9}a^3b\biggl)\cdot \biggl(-\frac{1}{2}b^3\biggl) \cdot(5ab^2)\biggl]:\biggl(\frac{1}{9}a^3b\biggl)=$$


Le moltiplicazioni dentro le parentesi quadre e infine la divisione

$$=\biggl[\biggl(-\frac{1}{18}a^3b^4\biggl)\cdot(5ab^2)\biggl]:\biggl(\frac{1}{9}a^3b\biggl)=$$


$$=\biggl[-\frac{5}{18}a^4b^6\biggl]:\biggl(\frac{1}{9}a^3b\biggl)=$$


$$=-\frac{5}{2}ab^5;$$

Esempio 4

$$ \biggl( \frac{4}{3}x^{3n}y^{3n}z^n - \frac{1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n - \frac{5}{6}x^{3n}y^{3n}z^n \biggl) - \biggl[ \biggl( \frac{1}{2}xy \biggl)^{2n} \cdot \biggl( \frac{2}{9}x^ny^nz^{n} + \frac{1}{3}x^ny^nz^n +\frac{4}{9}x^ny^nz^n \biggl)\biggl] + $$


$$+\biggl[(x^{4n}y^{2n}z^{4n}) : \biggl( \frac{3}{5} x^{4n}y^nz^{3n} \biggl) \biggl] = $$


con \(n\) un numero intero generico.
Ci ritroviamo di fronte ad un espressione tra monomi con potenze ennesime! Non c’è niente di complicato, basta trattarla come le espressioni con i monomi con potenze numeriche. Quindi, come al solito, svolgiamo le somme e le differenze tra i monomi dentro le parentesi tonde

$$ = \frac{3}{12}x^{3n}y^{3n}z^n - \biggl[ \biggl(\frac{1}{2}xy \biggl)^{2n} \cdot (x^ny^nz^n ) \biggl] + \biggl[ (x^{4n}y^{2n}z^{4n}) : \biggl( \frac{3}{5} x^{4n}y^nz^{3n} \biggl) \biggl]=$$


$$=\frac{1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n -\biggl[\biggl(\frac{1}{2}xy\biggl)^{2n} \cdot (x^ny^nz^n )\biggl] + \biggl[(x^{4n}y^{2n}z^{4n}): \biggl(\frac{3}{5}x^{4n}y^nz^{3n}\biggl)\biggl]=$$


Ora tocca alla potenza dentro la parentesi quadra

$$=\frac{1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n -\biggl[\biggl(\frac{1}{2^{2n}}x^{2n}y^{2n}\biggl) \cdot (x^ny^nz^n )\biggl] + \biggl[(x^{4n}y^{2n}z^{4n}): \biggl(\frac{3}{5}x^{4n}y^nz^{3n}\biggl)\biggl]=$$


e poi alle moltiplicazioni e alle divisioni nelle parentesi quadre

$$=\frac{1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n -\frac{1}{4^n}x^{2n+n}y^{2n+n}z^n + \frac{5}{3}x^{4n-4n}y^{2n-n}z^{4n-3n}=$$


$$=\frac{1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n -\frac{1}{4^n}x^{3n}y^{3n}z^n + \frac{5}{3}x^{0}y^{n}z^{n}=$$


$$=\frac{1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n -\frac{1}{4^n}x^{3n}y^{3n}z^n + \frac{5}{3}y^{n}z^{n}=$$


Sommando ora i monomi simili tra loro avremo il risultato dell’espressione

$$=\frac{4^{n-1}-1}{4}x^{3n}y^{3n}z^n+\frac{5}{3}y^{n}z^{n};$$