In questa nuova serie di lezioni parliamo di un oggetto che ha rivoluzionato gran parte del pensiero della Matematica moderna fondendo insieme due branche della Matematica che sembravano indipendenti l’una dall’altra: l’algebra e la geometria.
L’oggetto di cui stiamo parlando è il così detto piano cartesiano. Su un piano cartesiano possiamo parlare di oggetti geometrici utilizzando strumenti algebrici come i numeri, le equazioni o le disequazioni.
Vediamo di cosa si tratta.

Il piano cartesiano non è altro che una coppia di rette ortogonali orientate.
Senza perdita di generalità possiamo assumere che una retta sia orizzontale e orientata verso destra e l’altra retta sia verticale e orientata verso l’alto.
Le due rette vengono dette assi catesiani.

  • L’asse orizzontale viene detto asse delle ascisse
  • l’asse verticale viene detto asse delle ordinate.

A volte l’asse delle ascisse viene anche detto asse delle x e quello delle ordinate viene chiamato asse delle y.
L’intersezione dei due assi è un punto che viene chiamato origine del piano cartesiano.

Fissata un’unita di misura, ognuno degli assi può essere visto come una rappresentazione dei numeri reali: sull’asse delle ascisse abbiamo tutti i numeri a partire dallo zero (che si trova nel punto in cui l’asse delle ordinare); andando verso destra abbiamo tutti i numeri positivi, spostandoci verso sinistra troviamo tutti i numeri negativi.

Allo stesso modo anche sull’asse delle ordinate possiamo trovare tutti i numeri reali. A partire dallo zero che si trova in corrispondenza con l’intersezione con l’asse delle ascisse troviamo tutti I numeri positivi spostandoci verso l’alto e tutti I numeri negativi spostandoci verso il basso.

Coordinate di un punto

Un primo utilizzo del piano cartesiano è quella di individuare ogni punto del piano mediante una coppia di numeri reali. Hai mai giocato a battaglia navale? L’idea è molto simile.

Ogni punto \( P \) del piano può essere raggiunto spostandosi di una quantità x sull’asse delle ascisse e poi di una quantità y sul’asse delle ordinate.
In questo senso abbiamo individuato ogni punto mediante la coppia di numeri x,y. Si scrive che sul piano cartesiano P ha coordinate (x,y) o più brevemente P = (x,y);

Un punto \( P \) sul piano cartesiano è dunque univocamente determinato da una coppia di numeri. Per convenzione il primo numero è lo spostamento sull’asse delle ascisse (la coordinata x del punto P o ascissa del punto P) e il secondo numero lo spostamento sull’asse delle ordinate (la coordinata y del punto P o ordinata del punto P).

Attenzione
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro porzioni detti quadranti; queste porzioni, partendo dalla porzione di piano in alto a destra e procedendo in senso antiorario vengono chiamate rispettivamente I quadrante, II quadrante, III quadrante, IV quadrante.

  • Per raggiungere un punto nel primo quadrante mi sposto verso destra sull’asse delle ascisse e in altro sull’asse delle ordinate. La coordinata x del punto e la coordinata y del punto sono entrambi positivi.
  • Per raggiungere un punto nel secondo quadrante mi sposto verso sinistra sull’asse delle ascisse e in altro sull’asse delle ordinate. La coordinata x del punto è negativa e la coordinata y positiva.
  • Per raggiungere un punto nel terzo quadrante mi sposto verso sinistra sull’asse delle ascisse e in basso sull’asse delle ordinate. I due numeri che rappresentano questo punto sono entrambi negativi.
  • Infine, per raggiungere un punto nel primo quadrante mi sposto verso destra sull’asse delle ascisse e in basso sull’asse delle ordinate. La coordinata x del punto è positiva e la coordinata y negativa.

Ora che abbiamo visto cosa si intende per piano cartesiano e per coordinate di un punto nelle prossime lezione possiamo cominciare a dare una caratterizzazione algebrica di fenomeni geometrici come il punto medio o i punti simmetrici di un segmento.