Nella scorsa lezione abbiamo introdotto il concetto di potenza che avevamo già visto nell’ambito delle frazioni. Non ci siamo però fermati a chiederci di quali proprietà gode questa operazione.

Richiamo
La potenza p-esima di un numero a, il numero che si ottiene moltiplicando a con se stesso p volte. Questo numero si indica con la scrittura

$$ a^p.$$

$ a $ viene detta base,

$ p $ viene detto esponente.

Ora che abbiamo ben chiaro il concetto di potenza e il suo funzionamento base, vediamo quali sono le operazioni che si possono svolgere con essa.

Prodotto di potenze con la stessa base

Supponiamo di avere un prodotto di potenze aventi la stessa base e esponenti rispettivamente n e m. Vediamo un esempio prima di passare alla teoria generale.
Come sempre per cercare di comprendere bene la questione proponiamo un esempio, così da vedere lo svolgimento e i passaggi da eseguire.

Supponiamo di voler capire quanto vale

$$2^3 \times 2^4.$$

Per definizione di potenza questo equivale a moltiplicare 2 per se stesso 3 volte e moltiplicare il risultato per il prodotto di 2 per se stesso 4 volte. In formule:

$$ (2 \times 2 \times 2 ) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2 ) $$

Ma per la proprietà associativa del prodotto, non ha importanza l’ordine in cui svolgiamo queste moltiplicazioni, in sostanza possiamo togliere le parentesi tonde.

$$ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $$

e quest’ultima si riassiume in

$$ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7 $$

dove

$$ 7 = 3 + 4 $$

In generale abbiamo che il prodotto di potenze con esponente positivo che abbiano stessa base, è una potenza che ha come base la stessa base di partenza e come esponente la somma degli esponenti, in formule:

$$ a^n \times a^m = a^{n+m} $$

In maniera analoga, usando la definizione di potenza, possiamo verificare che valgono formule simili che vediamo di seguito.

Divisione tra potenze con la stessa base

Oltre al prodotto
Supponiamo di voler dividere due potenze con la stessa base a ed esponenti rispettivamente n e m, si ha.

$$ a^n : a^m = a^{n-m} $$

Esempio

$$ 5^4 : 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25,$$

che è lo stesso risultato che avremmo ottenuto svolgendo prima le potenze singolarmente e diviso i risultati ottenuti.

Potenza di potenza

Supponiamo di voler elevare a potenza una potenza, si ha:

$$ (a^n)^m = a^{n \times m } $$

Esempio

$$ (2^2)^ 3 = 2^ {2 \times 3} = 2 ^ 6 = 64 $$

Lo stesso risultato lo avremmo ottenuto se avessimo elevato alla terza il risultato di $ 2^2= 4$

Infatti:

$$ (2^2)^ 3 = 4^{ 3} = 4 \times 4 \times 4 = 64.$$

Prodotto di potenze con stesso esponente

Supponiamo di voler moltiplicare tra loro potenze con basi diverse ma lo stesso esponente. Abbiamo il seguente risultato:

$$a^n \times b^ n = (a \times b)^n $$

Esempio

$$ 2^2 \times 3^2 = (2 \times 3)^2 = 6 ^2 = 36 $$

Naturalmente tutte le proprietà di cui abbiamo parlato rimango valide anche nel caso in cui la base non sia un numero naturale ma una frazione.

Nella prossima lezione vedremo alcune espressioni con le potenze in modo da prendere più confidenza con questa nuova operazione.