Con lo studio dei radicali e delle loro proprietà abbiamo appreso anche come fare le loro operazioni (addizione, sottrazione…). Oggi vediamo come applicare queste conoscenze facendo insieme delle espressioni con i radicali applicando, ove possibile, le loro proprietà.

Esercizio 1

Svolgere la seguente espressione numerica con i radicali:

$$[(2\sqrt{5}+1)( 2\sqrt{5}-1)-(\sqrt{5}-1)^2-(\sqrt{5}-4)^2]:2$$


Svolgimento:
Per risolvere questa espressione numerica, svolgiamo prima di tutto i prodotti notevoli che si trovano dentro le parentesi quadre. Infatti abbiamo che

  • \( (2\sqrt{5}+1)( 2\sqrt{5}-1)\) è il prodotto di una somma per una differenza di due numeri uguali ed è uguale a

    $$(2\sqrt{5}+1)( 2\sqrt{5}-1)= 4(\sqrt{5})^2-1=4\cdot 5 -1=20-1=19$$

  • \( (\sqrt{5}-1)^2\) e \( ( \sqrt{5}-4)^2\) sono due quadrati di binomi uguali rispettivamente a

    $$ (\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2+1-2\sqrt{5}=5+1-2\sqrt{5}=6-2\sqrt{5}$$


    e

    $$ (\sqrt{5}-4)^2=(\sqrt{5})^2+16-8\sqrt{5}=5+16-8\sqrt{5}=21-8\sqrt{5}$$

Sostituendo all’espressione iniziale questi risultati abbiamo

$$=[19-(6-2\sqrt{5})-(21-8\sqrt{5})]:2=$$


$$=[19-6+2\sqrt{5}-21+8\sqrt{5}]:2=$$


Facendo ora la somma tra le parti numeriche e tra i radicali l’espressione si riduce a

$$=[10\sqrt{5}-8]:2=$$


Dividiamo infine il numero e il radicale per \(2\)

$$=10\sqrt{5}:2-8:2=5\sqrt{5}-4$$

Esercizio 2

Svolgere la seguente somma algebrica tra radicali:

$$(2x+3y)\sqrt{xy}-\sqrt{4x^3y}-\sqrt{9xy^3}$$


Svolgimento:
Come primo passo riscriviamo l’espressione in questo modo

$$=(2x+3y)\sqrt{xy}-\sqrt{(2x)^2xy}-\sqrt{(3y)^2xy}=$$


Così facendo si vede subito che possiamo portare fuori dalle radici i termini \((2x)^2\) e \((3y)^2\)

$$=(2x+3y)\sqrt{xy}-2x\sqrt{xy}-3y\sqrt{(xy}=$$


Svolgiamo di seguito il prodotto nell’espressione

$$=2x\sqrt{xy}+3y\sqrt{xy}-2x\sqrt{xy}-3y\sqrt{(xy}=$$


e le somme tra i monomi

$$=(2x-2x)\sqrt{xy}+(3y-3y)\sqrt{xy}=0$$

Esercizio 3

Risolvere la seguente espressione algebrica con la radice doppia:

$$\sqrt{2(a-b)}\cdot\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{4a-4b}}}$$


Svolgimento:
L’espressione è composta da un prodotto tra un radicale ed un radicale doppio. La prima domanda che ci poniamo è: se svolgiamo la radice doppia, ci viene un prodotto tra radicali con lo stesso indice? Svolgiamo, quindi, la radice doppia con le proprietà delle radici

$$=\sqrt{2(a-b)}\cdot\sqrt[3\cdot 2]{\frac{1}{4a-4b}}=$$


$$=\sqrt{2(a-b)}\cdot\sqrt[6]{\frac{1}{4a-4b}}=$$


Abbiamo un prodotto tra radicali con indice diverso! Per poterlo risolvere dobbiamo riportarci a un prodotto tra radicali con indice uguale, come facciamo?
Facciamo il minimo comune multiplo tra gli indici

$$m.c.m.(2,6)=6$$


Questo sarà l’indice uguale dei due radicali, però non possiamo semplicemente cambiare l’indice vecchio con il nuovo: dobbiamo trasformare il radicale vecchio in un radicale equivalente. Per quanto riguarda

$$\sqrt[6]{\frac{1}{4a-4b}}$$


non c’è nulla da cambiare poiché il suo indice è già \(6\). Invece dobbiamo trasformare

$$\sqrt{2(a-b)}$$


Poiché la divisione di \(6\) per \(2\)(indice vecchio del radicale) mi da la potenza per cui devo elevare il radicando per ottenere un radicale equivalente con indice \(6\), possiamo scrivere:

$$\sqrt{2(a-b)}= \sqrt[6]{2^3(a-b)^3}$$


Così facendo l’espressione diventa

$$=\sqrt[6]{2^3(a-b)^3}\cdot\sqrt[6]{\frac{1}{4a-4b}}=$$


possiamo finalmente fare la moltiplicazione

$$= \sqrt[6]{ 2^3(a-b)^3\cdot \frac{1}{4a-4b}}=$$


$$= \sqrt[6]{ 8(a-b)^3\cdot \frac{1}{4a-4b}}=$$


$$= \sqrt[6]{ 2(a-b)^2}$$

Esercizio 4

Risolvi la seguente espressione polinomiale:

$$\sqrt[3]{\frac{x}{y^3}-\frac{1}{y^2}}+ \sqrt[3]{xy^3-y^4}- \sqrt[3]{8x-8y}$$


Svolgimento:
La tecnica qui è cercare di portare fuori dai radicali il maggior numero di termini possibili, così da vedere se possiamo fare l’addizione e la sottrazione tra radicali. Studiamo, perciò, i singoli radicali:
- 

$$\sqrt[3]{\frac{x}{y^3}-\frac{1}{y^2}}=$$


Facendo la differenza tra i due polinomi che formano il radicando abbiamo

$$=\sqrt[3]{\frac{x-y}{y^3}}=$$


$$=\sqrt[3]{\frac{1}{y^3}( x-y)}=$$


Possiamo, quindi, portare fuori dal radicale \(\frac{1}{y^3}\)

$$=\frac{1}{y}\sqrt[3]{x-y}\quad;$$

- 

$$\sqrt[3]{xy^3-y^4}=$$


Qui raccogliamo nel radicando il termine \(y^3\)

$$=\sqrt[3]{y^3 (x-y)}=$$


$$=y\sqrt[3]{x-y}\quad;$$

- 

$$\sqrt[3]{8x-8y}=$$


Allo stesso modo

$$=\sqrt[3]{8(x-y)}= 2\sqrt[3]{x-y}\quad;$$

Possiamo riscrivere l’espressione come

$$=\frac{1}{y}\sqrt[3]{x-y}+ y\sqrt[3]{x-y}- 2\sqrt[3]{x-y}=$$


e fare le somme e le differenze tra radicali

$$=\biggl(\frac{1}{y}+y-2\biggl)\sqrt[3]{x-y}=$$


$$=\biggl(\frac{1+y^2-2y}{y}\biggl)\sqrt[3]{x-y}=$$


$$=\biggl(\frac{(1+y)^2}{y}\biggl)\sqrt[3]{x-y}$$