Fissiamo i concetti acquisiti sui radicali e le loro proprietà, proponendo una lista di esercizi svolti di diverse tipologie. In questa lista di esercizi svolti con i radicali potrete vedere in che modo ottenere il risultato dell’operazione, quali sono i passaggi da effettuare e soprattutto evitare errori avendo un aiuto per i vostri esercizi di matematica.

Esercizio 1

Semplifica i seguenti radicali usando la definizione di radicale come potenza frazionaria:

  1. \(\sqrt[3]{x^9y^3z^{21}}\)
  2. \(\sqrt[15]{x^{15}y^5z^{30}}\)
  3. \(\sqrt[2]{4x^2+9y^2-12xy}\)

Svolgimento:

  1. $$\sqrt[3]{x^9y^3z^{21}}=$$


    Per semplificare l’esercizio, riscriviamo il radicale come potenza frazionaria

    $$=(x^9y^3z^{21})^{\frac{1}{3}}=$$


    Eleviamo a potenza il monomio

    $$=x^{\frac{9}{3}}y^{\frac{3}{3}}z^{\frac{21}{3}}=x^3yz^7$$

  2. $$\sqrt[15]{x^{15}y^5z^{30}}=$$


    Procediamo esattamente come abbiamo fatto per il punto precedente…

    $$=( x^{15}y^5z^{30})^{\frac{1}{15}}=xy^{\frac{1}{3}}z^2=xz^2\sqrt[3]{y}$$

  3. $$\sqrt[2]{4x^2+9y^2-12xy}=$$


    Come prima

    $$=(4x^2+9y^2-12xy)^{\frac{1}{2}}=$$


    Notiamo che il polinomio all’interno della parentesi tonda è un quadrato di un binomio, infatti

    $$=((2x-3y)^2 )^{\frac{1}{2}}=2x-3y $$

Esercizio 2

Riduci la seguente terna di radicali allo stesso indice.

$$\sqrt{ab}\quad \sqrt[6]{a-b}\quad \sqrt[4]{a+b^2}$$


Svolgimento:
Non possiamo semplificare ulteriormente questi radicali, perciò facciamo il minimo comune multiplo tra gli indici dei radicali per trovare l’indice in comune

$$m.c.m.(2,6,4)=12$$


Trasformiamo il primo radicale… dobbiamo, prima di tutto, dividere il minimo comune multiplo appena trovato per l’indice del radicale e poi moltiplicare l’indice ed elevare a potenza il radicando del radicale per il risultato della divisione svolta. Dalla divisione abbiamo che

$$12:2=6$$


Moltiplicando l’indice per \(6\) e elevando alla sesta il radicando otteniamo

$$\sqrt{ab}=\sqrt[12]{a^6b^6}$$


Facciamo lo stesso giochetto per gli altri due radicali

$$12:6=2\quad e\quad 12:4=3$$


Svolgendo le stesse operazioni fatte prima otteniamo

$$\sqrt[6]{a-b}=\sqrt[12]{(a-b)^2}\quad e\quad \sqrt[4]{a+b^2} =\sqrt[12]{(a+b^2)^3}$$


In totale abbiamo

$$\sqrt[12]{a^6b^6}\quad \sqrt[12]{(a-b)^2}\quad \sqrt[12]{(a+b^2)^3}$$

Esercizio 3

Trasporta, ove possibile, i termini fuori dal segno di radice dei seguenti radicali

  1. \(\sqrt[4]{x^{35}y^{23}z^{21}}\)
  2. \(\sqrt{\frac{x^3y^3+xy^5-2x^2y^4}{y^2x}}\)

Svolgimento:

  1. La strategia per risolvere questo tipo di esercizio è simile a quella applicata per Esercizio 1. Quindi riscriviamo il radicale come potenza frazionaria

    $$\sqrt[4]{x^{35}y^{23}z^{21}}=(x^{35}y^{23}z^{21})^{\frac{1}{4}}=$$


    Notiamo che
    - Il risultato della divisione di \(35\) per \(4\) è \(8\) con resto di \(3\);
    - Il risultato della divisione di \(23\) per \(4\) è \(5\) con resto di \(3\);
    - Il risultato della divisione di \(21\) per \(4\) è \(5\) con resto di \(1\);
    Perciò riscriviamo il radicale così

    $$=(x^{32+3}y^{20+3}z^{20+1})^{\frac{1}{4}}=$$


    $$=x^{\frac{32+3}{4}}y^{\frac{20+3}{4}}z^{\frac{20+1}{4}}=$$


    $$=x^{8+\frac{3}{4}}y^{5+\frac{3}{4}}z^{5+\frac{1}{4}}=$$


    Usando le proprietà delle potenze avremo

    $$=x^8y^5z^5(x^3y^3z)^{\frac{1}{4}}=$$


    $$=x^8y^5z^5\sqrt[4]{x^3y^3z}$$

  2. Vogliamo applicare lo stesso discorso del primo punto dell’esercizio, solo che, in questo caso, prima bisogna fare dei raccoglimenti. Quindi raccogliendo per \(xy^3\) il numeratore abbiamo

    $$\sqrt{\frac{x^3y^3+xy^5-2x^2y^4}{y^2x}}=\sqrt{\frac{xy^3(x^2+y^2-2xy)}{y^2x}}=$$


    Semplifichiamo il radicale ottenuto

    $$=\sqrt{y(x^2+y^2-2xy)}=$$


    Notiamo il quadrato di binomio nel radicando

    $$=\sqrt{y(x-y)^2}=$$


    E portando fuori dalla radice avremo

    $$=(x-y)\sqrt{y}$$

Esercizio 4

Trasporta i termini fuori la radice sotto il segno di radice.

$$x^2z^3\sqrt[5]{xy^3z^2}$$


Svolgimento:
Per trasportare dentro il segno di radice basta semplicemente moltiplicare gli esponenti dei termini fuori la radice per l’indice del radicale

$$\sqrt[5]{x^{10}z^{15}xy^3z^2}=\sqrt[5]{x^{11}y^3z^{17}}$$


Per capire meglio il perché si deve fare questo, possiamo scrivere come prima il radicale come potenza frazionaria e svolgere la semplice moltiplicazione tra monomi. Lasciamo questa verifica come esercizio per il lettore.

Esercizio 5

Svolgi il seguente radicale doppio

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$$


Svolgimento:
Portiamo il \(2\) nel radicando sotto il segno di radice quadrata

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+\sqrt{12}}$$


Esiste una formula risolutiva per i radicali doppi in questa forma, infatti possiamo riscriverlo come

$$\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{4+\sqrt{16-12}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-12}}{2}}=$$


$$=\sqrt{\frac{4+2}{2}}+\sqrt{\frac{4-2}{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}}=$$


$$=1+\sqrt{3}$$