In questa lezione (e nelle prossime due) parliamo di quei problemi in cui è richiesto scoprire il valore di una incognita attraverso la conoscenza di tre valori attraverso le nozioni di grandezze direttamente e inversamente proporzionali.
I problemi del tre semplice si dividono in:
- Problemi del tre semplice diretto( argomento di questa lezione);
- Problemi del tre semplice inverso ( argomento trattato nelle prossime lezioni);
- Problemi del tre composto ( argomento trattato nelle prossime lezioni).
Vediamo come risolvere i problemi del tre semplice diretto partendo da un esempio:
Esempio
"Una super-lumaca, molto veloce, percorre 78 km in 5 minuti. Se assumiamo una velocità costante della lumaca, quanto tempo impiegherà per percorrere 390 km?"
A questo punto dobbiamo operare nel seguente modo:
- Chiederci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali;
- Impostare la proporzione per risolvere il problema.
Nel nostro esempio ci chiediamo: al raddoppiare dei chilometri percorsi raddopierà anche la quantita di tempo impiegato dalla nostra lumaca?
Certemante si, quindi le grandezze sono direttamente proporzionali e allora la nostra incognita e il numero ad esso corrispondente (390) avranno la stessa posizione nella proporzione: saranno entrambi a destra del simbolo di divisione o entrambi a sinistra del simbolo di divisione.
Nel nostro caso la proporzione risultante sarà:
$$ 5: x = 78 : 390 $$
Risolvendo poi la proporzione, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, risulta che
$$ 78 \times x = 5 \times 390 $$
$$ 78 \times x = 1950 $$
infine divendo per 78 entrambi i menbri abiamo che:
$$ x = \frac{1950}{78} = 25 $$
Dunque la nostra lumaca per percorrere 390 km impiega la bellezza di 25 minuti.
Vediamo ora un altro esempio di problema del tre semplice diretto:
Esempio
"Un commerciante ha avuto un guadagno netto di 80 € su un ricavo di 400 €. Se avesse avuto un ricavo di 700 € quale sarebbe stato il suo guadagno?"
A questo punto dobbiamo operare nel seguente modo:
- Chiederci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali;
- Impostare la proporzione per risolvere il problema.
Nel nostro esempio ci chiediamo:
Al raddoppiare del ricavo raddopierà anche il guadagno del commerciante?
Certemante si, quindi le grandezze sono direttamente proporzionali e allora la nostra incognita e il numero ad esso corrispondente (700) avranno la stessa posizione nella proporzione: saranno entrambi a destra del simbolo di divisione o entrambi a sinistra del simbolo di divisione.
Nel nostro caso la proporzione risultante sarà:
$$ 80: x = 400 : 700 $$
Risolvendo poi la proporzione, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, risulta che
$$ 400 \times x = 80 \times 700 $$
$$ 400 \times x = 56000 $$
infine divendo per 400 entrambi i menbri abiamo che:
$$x = \frac{56000}{400} = 140$$
Dunque il commerciante su un ricavo di 700 € guadagna 140 € .