Con lo studio dei radicali e delle loro proprietà abbiamo appreso anche come fare le loro operazioni (addizione, sottrazione…). Oggi vediamo come applicare queste conoscenze facendo insieme delle espressioni con i radicali applicando, ove possibile, le loro proprietà.
Esercizio 1
Svolgere la seguente espressione numerica con i radicali:
$$[(2\sqrt{5}+1)( 2\sqrt{5}-1)-(\sqrt{5}-1)^2-(\sqrt{5}-4)^2]:2$$
Svolgimento:
Per risolvere questa espressione numerica, svolgiamo prima di tutto i prodotti notevoli che si trovano dentro le parentesi quadre. Infatti abbiamo che
- \( (2\sqrt{5}+1)( 2\sqrt{5}-1)\) è il prodotto di una somma per una differenza di due numeri uguali ed è uguale a
$$(2\sqrt{5}+1)( 2\sqrt{5}-1)= 4(\sqrt{5})^2-1=4\cdot 5 -1=20-1=19$$
- \( (\sqrt{5}-1)^2\) e \( ( \sqrt{5}-4)^2\) sono due quadrati di binomi uguali rispettivamente a
$$ (\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2+1-2\sqrt{5}=5+1-2\sqrt{5}=6-2\sqrt{5}$$
e
$$ (\sqrt{5}-4)^2=(\sqrt{5})^2+16-8\sqrt{5}=5+16-8\sqrt{5}=21-8\sqrt{5}$$
Sostituendo all’espressione iniziale questi risultati abbiamo
$$=[19-(6-2\sqrt{5})-(21-8\sqrt{5})]:2=$$
$$=[19-6+2\sqrt{5}-21+8\sqrt{5}]:2=$$
Facendo ora la somma tra le parti numeriche e tra i radicali l’espressione si riduce a
$$=[10\sqrt{5}-8]:2=$$
Dividiamo infine il numero e il radicale per \(2\)
$$=10\sqrt{5}:2-8:2=5\sqrt{5}-4$$
Esercizio 2
Svolgere la seguente somma algebrica tra radicali:
$$(2x+3y)\sqrt{xy}-\sqrt{4x^3y}-\sqrt{9xy^3}$$
Svolgimento:
Come primo passo riscriviamo l’espressione in questo modo
$$=(2x+3y)\sqrt{xy}-\sqrt{(2x)^2xy}-\sqrt{(3y)^2xy}=$$
Così facendo si vede subito che possiamo portare fuori dalle radici i termini