Nelle scorse lezioni abbiamo parlato di nuove operazioni: la radice quadrata e la radice cubica e abbiamo visto come queste operazioni si possano generalizzare con il concetto di radice n-esima. In questa lezione vediamo insieme quali sono le proprietà di cui gode l’operazione di radice
La radice quadrata
La radice quadrata di un numero è quel numero che elevato alla seconda restituisce il numero di partenza.
La radice quadrata di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione
$$ \sqrt{a} \qquad \mbox{o anche} \qquad \sqrt[2]{a} .$$
Il numero $a $ viene detto radicando
In formule, la radice quadrata di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:
$$ (\sqrt{a}) ^2 = a $$
La radice n-esima
In generale la radice n-esima di un numero è quel numero che elevato alla $ / n $ restituisce il numero di partenza.
La radice n-esima di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione
$$ \sqrt[n]{a} .$$
In formule, la radice n-esima di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:
$$ (\sqrt[n]{a}) ^n = a $$
Il numero $ \ a $ viene sempre detto radicando
Il numero $ \ n $ viene detto indice della potenza.
In questo senso:
- la radice quadrata non è altro che la radice n-esima con indice n=2
- la radice cubica non è altro che la radice n-esima con indice n=3.
Proprietà della radice
Positività
La radice di un numero è sempre un numero positivo.
Campo di esistenza
Non tutte le operazioni si possono fare con tutti i numeri, sicuramente già saprai che adesempio non si può dividere per 0.
Allo stesso modo non è sempre possibile calcolare la radice di qualunque numero. Infatti, se la radice ha indice pari, si può calcolare la radice solo di radicandi positivi
Per intenderci, se $ \ n $ è dispari, una scrittura di questo tipo è sempre lecita
$$ \sqrt[n]{a} .$$
Se invece $ \ n $ è pari, una scrittura di questo tipo è lecita se e soltanto se il radicando $ \ a $ è positivo.
Somma e differenza di radicali
Supponiamo di avere le seguenti somme/sottrazioni:
$$ 8\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} $$
Per conseguenza delle proprietà della somma e del prodotto, possiamo mettere insieme i termini con la stessa radice:
$$ (8 + 3 – 4 )\sqrt{2} + (7+3-2)\sqrt{3} $$
$$ 7 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3} $$
Dove per $ b \sqrt{a} $ si intende $ b \times \sqrt{a} .$
Prodotto e il rapporto di radicali con lo stesso indice
Il prodotto di due radici con lo stesso indice è una radice con lo stesso indice che ha come radicando, il prodotto dei radicandi delle due radici di partenza:
$$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $$
Il rapporto di due radici con lo stesso indice è una radice con lo stesso indice che ha come radicando, il rapporto dei radicandi delle due radici di partenza:
$$ \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} $$
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
Per il passaggio di un fattore fuori dal segno di radice abbiamo la seguente formula:
$$ \sqrt[n]{a^{nq} \times b} = a^{q} \times \sqrt[n]{ b} $$
Esempio
$$ \sqrt[2]{24} = \sqrt[2]{8 \times 3} = \sqrt[2]{2^3 \times 3} = $$
$$ \sqrt[2]{2^2 \times 2 \times 3} = \sqrt[2]{2^2 \times 6} = 2 \sqrt[2]{6}$$
Potenza di radice e radice di radice
Valgone le seguenti due formule:
$$ (\sqrt{a})^m = \sqrt{a^m} $$
$$ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \times n]{a} $$
Radice come potenza frazionaria
Per finire possiamo osservare che la radice si comporta come fosse una particolare operazione di elevamento a potenza dove l’indice di potenza è una frazione.
In formule abbiamo:
$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$
Quest’ultima relazione semplifica molto il lavoro con le radici che diventano a tutti gli effetti potenze. Possiamo manovrare le radici utilizzando quindi tutte le proprietà delle potenze di cui abbiamo già parlato.