In questa lezione parliamo di un altra proprietà delle operazioni, una delle più importanti: la proprietà distributiva che mette in relazione le operazioni di addizione e sottrazione con quella di moltiplicazione e divisione. Vediamo meglio, nel dettaglio, di cosa stiamo parlando, facendo anche degli esempi specifici che ci aiutino nella comprensione.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione

Partiamo direttamente dall’enunciato della proprietà:
Consideriamo un’addizione (o una sottrazione) e moltiplichiamone il risultato per un determinato numero. Il prodotto ottenuto è uguale alla somma (o alla differenza) dei prodotti tra ciascun termine dell’operazione di partenza e il numero scelto.

Questa volta l’enunciato non è semplicissimo, ma di sicuro un paio di esempi aiuteranno a capire alla perfezione questa fondamentale proprietà e la sua applicazione.

Esempi
Come dice l’enunciato della proprietà, consideriamo un’addizione e moltiplichiamo il risultato per un determinato numero. Non è importante se moltiplichiamo a destra o a sinistra perché ci ricordiamo che l’operazione di moltiplicazione gode della proprietà commutativa:

( 3 + 2 ) x 5

facendo un po’ di conti otteniamo così

5 x 5 =
25.

La proprietà distributiva ci dice che avremmo ottenuto lo stesso risultato anche se avessimo moltiplicato “ 3 x 5 “ e “ 2 x 5 “ e avessimo sommato i due numeri risultanti. In altre parole

( 3 + 2 ) x 5 =
( 3 x 5 ) + ( 2 x 5 ) =
15 + 10 =
25.

Più in generale possiamo riscrivere la proprietà in questi termini:

( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )

Per quanto concerne la somma, allo stesso modo per la sottrazione abbiamo:

( a - b ) x c = ( a x c ) - ( b x c )-

Infine, possiamo mettere insieme le due formule utilizzando la seguente scrittura più compatta:

(a±b)xc=(axc)±(bxc).

Proprietà distributiva della divisione rispetto ad addizione e sottrazione

Anche questa volta partiamo direttamente dall’enunciato della proprietà e passiamo subito a fare degli esempi:

Consideriamo un’addizione (o una sottrazione) e dividiamo il risultato per un determinato numero. La divisione ottenuto è uguale alla somma (o alla differenza) delle divisioni tra ciascun termine dell’operazione di partenza e il numero scelto.

Esempi
Consideriamo la seguente espressione come nell’enunciato:

( 5 + 15 ) : 5 =
20 : 5 =
4.

Avremmo ottenuto lo stesso risultato anche se avessimo prima diviso entrambi gli addendi della somma e poi sommato i risultati:

( 5 + 15 ) : 5 =
( 5 : 5 ) + ( 15 : 5 ) =
1 + 3 =
4.

Allo stesso modo con una sottrazione:

( 15 - 5 ) : 5 =
( 15 : 5 ) - ( 5 : 5 ) =
3 - 1 =
2.

Che è lo stesso risultato che avremmo ottenuto se non avessimo utilizzato la proprietà distributiva

( 15 - 5 ) : 5 =
10 : 5=
2.

Osservazioni

Per concludere osserviamo che a differenza di quanto detto per la proprietà distributiva del prodotto in questo caso è importante che il divisore si trovi a destra. Per essere più precisi, la proprietà distributiva della divisione è detta proprietà distributiva a destra. Questo succede perché per la divisione non vale la proprietà commutativa come osservato nella lezione dedicata a questa proprietà.

Esempio
Supponiamo di poter usare la proprietà distributiva della divisione a sinistra, avremo per esempio:

24 : (4−3)=
( 24 : 4 ) − ( 24 : 3 ) =
6 − 8 =
−2,

Questo è un risultato sbagliato. Infatti se seguiamo le normali regole di priorità delle operazioni e gestione delle parentesi per la risoluzioni di espressioni abbiamo che

24 : (4−3)=
( 24 : 4 ) − ( 24 : 3 ) =
24,

In questo modo riusciamo ad ottenere il risultato esatto.
Con questa lezione si conclude il ciclo di lezioni sulle espressioni e le proprietà delle operazioni.