In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni vedendo in modo dettagliato la proprietà del comporre.
Scopriamo in che modo funziona quest proprietà, come si applica e soprattutto vediamo qualche esempio pratico, in modo da avere la questione il più possibile chiara e non fare errori.
Proprietà del comporre (prima forma)
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La proprietà del comporre ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ (a + b ): a = (c+ d) : c $$
In altre parole la prima proprietà del comporre ci dice che:
La somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma degli altri due sta al terzo.
Proprietà del comporre (seconda forma)
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La seconda proprietà del comporre ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ (a+ b):b = (c +d) :d $$
La somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma degli altri due sta al quarto.
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 2:3 = 10 :15 $$
Per la proprietà del comporre valgono anche le seguenti:
$$ (2+3):2 = (10+15):10 $$
$$ (2+3):3 = (10 +15):15 $$
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 8:4 = 10 :5 $$
Per la proprietà del comporre valgono anche le seguenti:
$$ (8+4):8 = (10 +5):10 $$
$$ (8+4):4 = (10 +5):5 $$
Esempio
Supponiamo di avere 2 incognite $x$ e $y$ e supponiamo di sapere che la loro differenza $x+y= 6$ e che stanno in proporzione nel modo seguente
$$ x: y = 1 : 2 $$
E se applichiamo la seconda proprietà del comporre otteniamo
$$ (x+y) : y = (1+2) : 2 $$
$$ 6: y = 3:2 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di $ y $
Infatti
$$ 3 \times y = 6 \times 2$$
da cui, dividendo per 3 entrambi i membri otteniamo y=4
A questo punto per ricavate il valore della $ x $ possiamo procedere in 2 modi
Usare il fatto che $ x+y=6 $ da cui $ x=6 -y = 6 -4 = 2 $
Usare $ y : x = 1 : 2 $ da cui, conoscendo il valore di $ y=4 $ ottenendo sempre x=2
Nella prossima lezione vedremo invece cosa è e come applicare la proprietà dello scomporre.