Oggi parliamo di numeri primi come dicevamo nella lezione sui multipli e sottomultipli, questi numeri hanno un’importanza fondamentale in aritmetica. Sono infatti gli atomi dei numeri, sono indivisibili e per questo gli dedicheremo interamente questa lezione.

Prima di entrare nel vivo della trattazione richiamiamo brevemente la definizione di numero primo, dal momento che conoscerla è un primo passo avanti.
I numeri primi sono quei numeri che hanno esattamente (solo) due divisori distinti: il numero stesso e il numero 1.
I numeri che non sono primi vengono detti numeri composti.

Osserviamo che il numero 1 non è considerato un numero primo perché ha solo un divisore, 1, ossia stesso e non due distinti. Per avere chiara la situazione vediamo una lista di tutti i numeri primi di al più tre cifre:

2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263 269 271 277
281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401
409 419 421 431 433 439 443 449 457 461
463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653
659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797
809 811 821 823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009

Già il matematico greco Euclide, aveva dimostrato, utilizzando quella che viene chiamata dimostrazione per assurdo, che i numeri primi sono infiniti.

Come si scopre se un numero è primo o no? La questione è piuttosto semplice: bisogna elencare tutti i suoi divisori, se i suoi unici divisori sono 1 e il numero stesso allora ci troviamo davanti ad un numero primo.
Come si fa a trovare i divisori di un numero? Il metodo più veloce è utilizzare i criteri di divisibilità di cui abbiamo parlato nella scorsa lezione. Un altro metodo è quello inventato dal matematico greco Eratostene nel 200 a.C. il cosiddetto crivello di Eratostene.

Il crivello di Eratostene

Supponiamo di voler trovare tutti i numeri primi da 2 a 2000, Eratostene propone di scrivere in fila tutti i numeri da 2 a 2000.
A questo punto si parte dal 2 e si cancellano tutti i suoi multipli: 4, 6, 8, 10, 12 e così via fino a 2000, infatti questi numeri non possono essere primi perché sono divisibili per 2.
Si passa poi al 3 e si cancellano tutti i multipli di 3 che sono ancora scritti. Il 4 è già stato cancellato quando abbiamo cancellato i multipli di 2 allora si cancellano tutti i multipli di 5. Si procede così fino a quando si è arrivati alla fine.

I numeri che alla fine non saranno cancellati, quelli che sono rimasti dopo questa operazione di setaccio, sono i numeri primi; perché non sono risultati essere multipli di nessun altro numero.

I numeri primi oggi conosciuti hanno milioni di cifre e sono utilizzati per rendere sicuri i sistemi crittografici come quello bancario o per la trasmissione di dati sensibili in generale.
I numeri primi hanno un’importanza fondamentale in aritmetica e questo verrà reso più chiaro nella prossima lezione sulla scomposizione in fattori primi.