Nelle ultime lezioni abbiamo visto cosa si intende per scomposizione in fattori primi di un numero e abbiamo dato la definizione di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo.

Oggi vediamo alcuni problemi che possono essere risolti utilizzando la teoria sviluppata fino a questo punto. In questo modo si potrà vedere se davvero si sono comprese le regole per l’applicazione o si deve riprendere con il ripasso e lo studio.

Problemi M.C.D

Problema 1

Un bravo studente ha 24 caramelle al limone, 60 caramelle alla fragola e 84 caramelle alla menta e vorrebbe dividere ogni gruppo di caramelle nello stesso numero di parti in modo che questo numero sia il più grande possibile.
Quanto vale il numero di caramelle di ogni parte?

Soluzione
Lo studente, essendo bravo, sa che in sostanza deve calcolare il massimo comune divisore tra 24, 60 e 84, MCD(24,60,84) in modo da trovare il più grande tra tutti i divisori comuni dei 3 gruppi di caramelle.

$24= 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3$
$60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2^2 x 3 x 5$
$84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2^2 x 3 x 7$

Per trovare il M.C.D bisogna moltiplicare i fattori comuni in tutte e tre le scomposizioni elevati alla potenza minore in cui compaiono.

$M.C.D(24,60,84) = 2^2 x 3 = 12$

In effetti 12 è proprio il più grande divisore comune dei tre numeri di partenza.

A questo punto lo studente potrà dividere le 24 caramelle al limone in 12 gruppi ognuno da 2 caramelle, 60 caramelle alla fragola in 12 gruppi da 5 caramelle a gruppo e 84 caramelle alla menta in 12 gruppi da 7 caramelle l’uno.

Osservazione

A questo punto lo studente può comporre 12 gruppi di caramelle tutti uguali ognuno formato da 2 caramelle al limone, 5 caramelle alla fragola e 7 caramelle alla menta.

Utilizzando l’ultima osservazione, utilizzando il massimo comune denominatore, possiamo risolvere tutti i problemi della forma seguente:

Problema 2
Abbiamo A oggetti di tipo a, B oggetti del tipo b, C oggetti del tipo c. Trovare il più grande numero di gruppi che possiamo fare in modo che ogni gruppo contenga lo stesso numero di oggetti a, b e c.

Soluzione
La soluzione di questo problema generale si trova facilmente calcolando il M.C.D(a,b,c).
In particolare se chiamiamo M il valore del M.C.D(a,b,c) ogni gruppo sarà formato esattamente da:

  • A : M elementi del ti po a
  • B : M elementi del tipo b
  • C : M elementi del tipo c

Problemi m.c.m

Problema 1

Supponiamo ci siano 3 comete che passano vicino alla terra. La prima si può vedere ogni 10 anni, la seconda ogni 15 anni e la terza ogni 4 anni. Se sono passate contemporaneamente quest’anno, quanti anni dovremo aspettare per poter ammirare di nuovo lo stesso fenomeno?

Soluzione
Si tratta chiaramente di un problema che va risolto utilizzando il minimo comune multiplo.
Infatti la prima cometa è visibile a multipli di 10 anni quindi a partire da oggi fra: 10 , 20, 30, 40, 50 , 60, 70, 80, 90, 100 anni e così via.

La seconda cometa appare ogni 15 anni, quindi a partire da oggi sarà visibile tra: 15, 30, 45, 60, 75, 90, anni e così via.

(In particolare fra 30 anni potremo ammirare di nuovo entrambe le prime 2 comete e questo è proprio il minimo comune multiplo tra 10 e 15)

La terza cometa passa ogni 4 anni: 4, 8 , 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 , 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72 anni e così via.

Facendo attenzione notiamo che 60 è il primo numero (il più piccolo) che si può trovare come multiplo comune di tutti e 3 i numeri. Fra 60 anni potremo vedere in cielo le 3 comete insieme.

Ma è veramente necessario esibire tutti i multipli dei numeri per trovare il più piccolo multiplo comune? La risposta, come abbiamo visto nella lezione sul minimo comune multiplo, è NO! Infatti per calcolare m.c.m(10,15,4) è sufficiente scrivere la scomposizione in fattori primi dei numeri e moltiplicare fra loro i fattori comuni e non comuni elevati per l’esponente più alto con cui appaiono:

$10 = 2 x 5$
$15 = 3 x 5$
$4 = 2 x 2 = 2^2$

$m.c.m(10,15,4) = 2^2 x 3 x 5 = 60$

che è esattamente il numero che era venuto fuori cercando a mano il più piccolo multiplo comune tra i 3 numeri.

Utilizzando la stessa strategia dell’esercizio precedente possiamo risolvere una grande varietà di altri esercizi che assumono una forma simile, per esempio il seguente.

Problema 2

Marco fa la raccolta del suo manga preferito e dei fumetti di Topolino che acquista dal giornalaio. Esce uno nuovo manga ogni 14 giorni. Mentre il fumetto di Topolino esce ogni 10 giorni. Ogni quanti giorni può comprare il manga e il fumetto assieme?

Soluzione
Adesso è chiaro che per rispondere alla domanda è sufficiente calcolare il m.c.m tra 10 e 14.
Utilizziamo lo stesso metodo dell’esercizio precedente, metodo che abbiamo spiegato nel dettaglio nella lezione dedicata al minimo comune multiplo.

Abbiamo che
$10 = 2 x 5$
$15= 3 x 5

Quindi m.c.m(10,15) = 2 x 3 x 5 = 30 giorni.