Continuiamo il discorso sulla mutua posizione di due rette nel piano cartesiano. Definiamo, perciò, il caso in cui due rette si dicono perpendicolari e, sempre avendo un’equazione della retta, diamo le relative condizioni di perpendicolarità sul piano.

Iniziamo dicendo che due rette si dicono perpendicolari se si intersecano in un punto in modo tale da formare quattro angoli retti

Notiamo che la definizione, questa volta, ci va bene sia per piano che per lo spazio tridimensionale. In particolare, per il piano, possiamo dire equivalentemente che due rette sono perpendicolari se lo dividono in quattro parti uguali tra loro, che non è altro che dire che le rette formano quattro angoli retti incontrandosi come già detto.
In generale sappiamo dire quando due rette si incontrano in punto del piano, infatti basta risolvere il sistema lineare ad esse associato per trovare il punto di intersezione. Per esempio, se abbiamo le rette:

$$r\colon 2x+3y-4=0 \quad s\colon x+y-3=0$$


scritte in forma implicita. Basta metterle a sistema per verificare se hanno o no un punto di intersezione: se il sistema ammette una soluzione le rette si intersecheranno in un punto e saranno incidenti.

$$\begin{cases} 2x+3y-4=0 \\ x+y-3=0 \end{cases}$$


Ma noi vogliamo di più!

Condizione di perpendicolarità

Come nel caso parallelo ci concentriamo sul metodo analitico per risolvere la questione. Vogliamo, di nuovo, avere una relazione tra i coefficienti angolari delle rette scritte in forma esplicita. La condizione di perpendicolarità ci dice che:

Due rette si dicono perpendicolari se e solo se i coefficienti angolari sono uno il reciproco dell’opposto dell’altro

Tradotto in formule se abbiamo due rette scritte in forma esplicita

$$r_1 \colon y=m_1x+q_1$$


$$r_2 \colon y=m_2x+q_2$$


allora esse sono perpendicolari e si indica con il simbolo \(r_1 \perp r_2\) se e solo se

$$m_1=-\frac{1}{m_2}$$


Ovvero se

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

Osservazione

Nel caso che \(m_2 = 0\), non potremo applicare la formula per come l’abbiamo enunciata. Però dalla teoria sappiamo che la retta \(r_2\) è orizzontale (parallela all’asse delle ascisse) per \(m_2 = 0\) e avremo che sarà perpendicolare alla retta \(r_1\) se questa sarà una retta verticale (parallela all’asse delle ordinate). Altrimenti, per questo caso particolare, non vi sarà perpendicolarità.

Nel caso in cui \(r_1\) e \(r_2\) siano scritte in forma implicita

$$r_1 \colon a_1x+b_1y+c_1=0$$


$$r_2 \colon a_2x+b_2y+c_2=0$$


Sono perpendicolari se e solo se

$$a_1 a_2+b_1 b_2=0$$


che viene direttamente dal passaggio in forma esplicita dell’equazione, infatti avremo

$$m_1=-\frac{a_1}{b_1} \quad m_2=-\frac{a_2}{b_2}$$


Che sostituendo a

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$


diventa

$$\biggl(-\frac{a_1}{b_1} \biggl)\cdot \biggl(-\frac{a_2}{b_2}\biggl)=-1 $$


e quindi la formula per questa forma.

Esempi

  • Le rette

    $$y=\frac{3}{2}x+3\quad y=-\frac{2}{3}x+5$$


    Sono perpendicolari poiché abbiamo

    $$ m_1 \cdot m_2 = \biggl(\frac{3}{2} \biggl)\cdot \biggl(-\frac{2}{3}\biggl)=-1 $$


    Verifica allora la condizione di perpendicolarità per due rette scritte in forma esplicita
  • Le rette

    $$6x+4y+2=0 \quad -2x+3y+4=0$$


    Sono perpendicolari, poiché applicando la formula per le rette scritte in forma implicita abbiamo

    $$ a_1 a_2+b_1 b_2=6\cdot(-2)+4\cdot 3=-12+12=0$$